微积分学示例

$y e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

解题步骤 1

在两边建立积分。

$\int y e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

解题步骤 2

对左边积分。

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解题步骤 2.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = y$ ， $d v = e^{y}$ 。

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

解题步骤 2.2

$e^{y}$ 对 $y$ 的积分为 $e^{y}$ 。

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

解题步骤 2.3

化简。

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

解题步骤 3

对右边积分。

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解题步骤 3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

解题步骤 3.2

用 $x^{2} + 1$ 除以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 3.2.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

解题步骤 3.2.3

将新的商式项乘以除数。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

解题步骤 3.2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 0$ 中的所有符号

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

解题步骤 3.2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

解题步骤 3.2.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

解题步骤 3.2.7

最终答案为商加上余数除以除数。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\int x d x + \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 3.5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

解题步骤 3.6.2

化简。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C_{4}$

解题步骤 4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$e^{y} y - e^{y} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C$

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