微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + y = 2 e^{- x}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{x}$ 。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} (2 e^{- x})$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2 e^{x} e^{- x}$

解题步骤 2.3

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 2.3.1

移动 $e^{- x}$ 。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2 (e^{- x} e^{x})$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2 e^{- x + x}$

解题步骤 2.3.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2 e^{0}$

解题步骤 2.4

化简 $2 e^{0}$ 。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2$

解题步骤 2.5

将 $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2$ 中的因式重新排序。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = 2$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = 2$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int 2 d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{x} y = \int 2 d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$e^{x} y = 2 x + C$

解题步骤 7

将 $e^{x} y = 2 x + C$ 中的每一项除以 $e^{x}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{x} y = 2 x + C$ 中的每一项都除以 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2 x}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2 x}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{2 x}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

微积分学 示例

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