微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 2 y \tan (x) = \sin (x)$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

从 $2 y \tan (x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (2 \tan (x)) = \sin (x)$

解题步骤 1.2

将 $y$ 和 $2 \tan (x)$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + 2 \tan (x) y = \sin (x)$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 2 \tan (x)$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int 2 \tan (x) d x}$

解题步骤 2.2

对 $2 \tan (x)$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{2 \int \tan (x) d x}$

解题步骤 2.2.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) |)$ 。

$e^{2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

解题步骤 2.2.3

化简。

$e^{2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{2 \ln (\sec (x))}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (\sec^{2} (x))}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$\sec^{2} (x)$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 3.2.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 3.2.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 3.2.4

组合 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 3.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \sec^{2} (x) \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 3.2.6

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 3.2.7

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 3.2.8

一的任意次幂都为一。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 3.2.9

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 3.2.10

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 3.2.11

合并。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 3.2.12

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 3.2.12.1

将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 3.2.12.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 3.2.12.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 3.2.12.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 3.2.13

组合 $\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ 和 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \sec^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 3.3

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x)$

解题步骤 3.4

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

解题步骤 3.5

一的任意次幂都为一。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

解题步骤 3.6

组合 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7

化简每一项。

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解题步骤 3.7.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.2

分离分数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.3

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.4

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.5

从 $\cos^{3} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos (x) \cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.6

分离分数。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.7

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos^{2} (x)} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.8

组合 $\frac{2 y}{\cos^{2} (x)}$ 和 $\tan (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y \tan (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.9

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y \tan (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.10

分离分数。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.11

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.12

将 $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.13

化简。

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解题步骤 3.7.13.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.13.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.14

乘以 $\frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x))$ 。

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解题步骤 3.7.14.1

组合 $\tan (x)$ 和 $\frac{2 y}{\cos (x)}$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{\tan (x) (2 y)}{\cos (x)} \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.14.2

组合 $\frac{\tan (x) (2 y)}{\cos (x)}$ 和 $\sec (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{\tan (x) (2 y) \sec (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.15

分离分数。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.16

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.17

将 $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.18

化简。

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解题步骤 3.7.18.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.18.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.19

用 $(2 y) \sec (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + (2 y) \sec (x) (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.20

乘以 $2 y \sec (x) (\tan (x) \sec (x))$ 。

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解题步骤 3.7.20.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.20.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.20.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.7.20.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.8

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 3.9

分离分数。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3.10

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

解题步骤 3.11

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 3.12

将 $\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$ 中的因式重新排序。

$\sec^{2} (x) \frac{d y}{d x} + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) y] = \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) y] d x = \int \sec (x) \tan (x) d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\sec^{2} (x) y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

解题步骤 7

因为 $\sec (x)$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ ，所以 $\sec (x) \tan (x)$ 的积分为 $\sec (x)$ 。

$\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$

解题步骤 8

将 $\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$ 中的每一项除以 $\sec^{2} (x)$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$ 中的每一项都除以 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) y}{\sec^{2} (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $\sec^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sec^{2} (x) y}{\sec^{2} (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $\sec (x)$ 和 $\sec^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 8.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.2.1

从 $\sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec (x) \sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 8.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec (x) \sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 8.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{1}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 8.3.1.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y = \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 8.3.1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$y = 1 \cos (x) + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 8.3.1.4

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$y = \cos (x) + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

微积分学 示例

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