微积分学示例

$(x + 1) d y + (2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x = 0$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

重写。

$(2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 2 y + 1 - 2 \cos (x)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y + 1 - 2 \cos (x)]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $2 y + 1 - 2 \cos (x)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d y} [2 y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

解题步骤 2.4.2

因为 $- 2 \cos (x)$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 \cos (x)$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0 + 0$

解题步骤 2.5

合并项。

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解题步骤 2.5.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x + 1$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 = 1$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$2 = 1$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $2$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 5.2

代入 $1$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{2 - 1}{N}$

解题步骤 5.3

代入 $x + 1$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $x + 1$ 替换 $N$ 。

$\frac{2 - 1}{x + 1}$

解题步骤 5.3.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{x + 1}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$ 。

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解题步骤 6.1

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 6.1.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 6.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

解题步骤 6.3

化简。

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

解题步骤 6.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = | u | + C$

解题步骤 6.5

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$μ (x, y) = | x + 1 | + C$

解题步骤 7

在 $(2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $x + 1$ 。

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解题步骤 7.1

将 $2 y + 1 - 2 \cos (x)$ 乘以 $x + 1$ 。

$(2 y + 1 - 2 \cos (x)) (x + 1) d x + (x + 1) d y = 0$

解题步骤 7.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 y + 1 - 2 \cos (x)) (x + 1)$ 。

$(2 y x + 2 y \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

解题步骤 7.3

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(2 y x + 2 y + 1 x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

解题步骤 7.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(2 y x + 2 y + x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

解题步骤 7.3.3

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

解题步骤 7.3.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

解题步骤 7.4

将 $2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x)$ 中的因式重新排序。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

解题步骤 7.5

将 $x + 1$ 乘以 $x + 1$ 。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) (x + 1) d y = 0$

解题步骤 7.6

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 7.6.1

运用分配律。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x (x + 1) + 1 (x + 1)) d y = 0$

解题步骤 7.6.2

运用分配律。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) d y = 0$

解题步骤 7.6.3

运用分配律。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

解题步骤 7.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.7.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

解题步骤 7.7.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

解题步骤 7.7.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) d y = 0$

解题步骤 7.7.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + x + 1) d y = 0$

解题步骤 7.7.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + 2 x + 1) d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int x^{2} + 2 x + 1 d y$

解题步骤 9

对 $N (x, y) = x^{2} + 2 x + 1$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + C$

解题步骤 10

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $(x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y]$ 。

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解题步骤 12.3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $(x^{2} + 2 x + 1) y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$ 。

$y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 12.3.2

根据加法法则， $x^{2} + 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 12.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 12.3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 12.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 12.3.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y (2 x + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 12.3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y (2 x + 2 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 12.3.8

将 $2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$y (2 x + 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$y (2 x + 2) + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 12.5

化简。

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解题步骤 12.5.1

运用分配律。

$y (2 x) + y \cdot 2 + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 12.5.2

合并项。

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解题步骤 12.5.2.1

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$2 \cdot y x + y \cdot 2 + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 12.5.2.2

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$2 y x + 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 12.5.3

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + 2 x y + 2 y = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 13.1.1

从等式两边同时减去 $2 x y$ 。

$\frac{d g}{d x} + 2 y = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y$

解题步骤 13.1.2

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$\frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$

解题步骤 13.1.3

合并 $2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.3.1

按照 $2 y x$ 和 $- 2 x y$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$

解题步骤 13.1.3.2

从 $2 x y$ 中减去 $2 x y$ 。

$\frac{d g}{d x} = 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) + 0 - 2 y$

解题步骤 13.1.3.3

将 $2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 y$

解题步骤 13.1.3.4

从 $2 y$ 中减去 $2 y$ 。

$\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) + 0$

解题步骤 13.1.3.5

将 $x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 14

求 $x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 14.1

对 $\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) d x$

解题步骤 14.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) d x$

解题步骤 14.3

将单个积分拆分为多个积分。

$g (x) = \int x d x + \int d x + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

解题步骤 14.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

解题步骤 14.5

应用常数不变法则。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

解题步骤 14.6

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

解题步骤 14.7

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x) + \int - 2 \cos (x) d x$

解题步骤 14.8

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) + \int - 2 \cos (x) d x$

解题步骤 14.9

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) - 2 \int \cos (x) d x$

解题步骤 14.10

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) - 2 (\sin (x) + C)$

解题步骤 14.11

化简。

$g (x) = \frac{x^{2}}{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

解题步骤 14.12

重新排序项。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

解题步骤 16

化简每一项。

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解题步骤 16.1

运用分配律。

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + 1 y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

解题步骤 16.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

解题步骤 16.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + y + \frac{x^{2}}{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

微积分学 示例

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