微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} \cos^{2} (y)$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (e^{2 x} \cos^{2} (y))$

解题步骤 1.2

约去 $\cos^{2} (y)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $e^{2 x} \cos^{2} (y)$ 中分解出因数 $\cos^{2} (y)$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = e^{2 x}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = e^{2 x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int e^{2 x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ 转换成 $\sec^{2} (y)$ 。

$\int \sec^{2} (y) d y = \int e^{2 x} d x$

解题步骤 2.2.2

因为 $\tan (y)$ 的导数为 $\sec^{2} (y)$ ，所以 $\sec^{2} (y)$ 的积分为 $\tan (y)$ 。

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{2 x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3.1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\tan (y) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

解题步骤 2.3.4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\tan (y) = \frac{1}{2} e^{2 x} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

化简 $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} + K$ 。

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解题步骤 3.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\tan (y) = \frac{e^{2 x}}{2} + K$

解题步骤 3.1.2

将 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 和 $K$ 重新排序。

$\tan (y) = K + \frac{e^{2 x}}{2}$

解题步骤 3.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $y$ 。

$y = \arctan (K + \frac{e^{2 x}}{2})$

微积分学 示例

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