微积分学示例

$\frac{d y}{d t} + t y = y$ , $y (1) = 3$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $t y$ 。

$\frac{d y}{d t} = y - t y$

解题步骤 1.2

从 $y - t y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d t} = y^{1} - t y$

解题步骤 1.2.2

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 - t y$

解题步骤 1.2.3

从 $- t y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 + y (- t)$

解题步骤 1.2.4

从 $y \cdot 1 + y (- t)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d t} = y (1 - t)$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

解题步骤 1.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = 1 - t$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = (1 - t) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 - t d t$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - t d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d t + \int - t d t$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} + \int - t d t$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - \int t d t$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = t - \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6

重新排序项。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$ 。

$| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

解题步骤 3.3.2

组合 $t^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$| y | = e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

解题步骤 3.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$ 重写为 $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $t$ ，将 $3$ 代入 $y$ ，在 $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ 中求 $C$ 的值。

$3 = C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1}$

解题步骤 6

求解 $C$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$ 。

$C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

一的任意次幂都为一。

$C e^{- \frac{1}{2} + 1} = 3$

解题步骤 6.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$C e^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} = 3$

解题步骤 6.2.3

在公分母上合并分子。

$C e^{\frac{- 1 + 2}{2}} = 3$

解题步骤 6.2.4

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$C e^{\frac{1}{2}} = 3$

解题步骤 6.3

将 $C e^{\frac{1}{2}} = 3$ 中的每一项除以 $e^{\frac{1}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $C e^{\frac{1}{2}} = 3$ 中的每一项都除以 $e^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

约去公因数。

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.2.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7

代入 $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ 替换 $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ 替换 $C$ 。

$y = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ 和 $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ 。

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.3

从 $3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ 中分解出因数 $e^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.4

约去公因数。

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解题步骤 7.4.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2

约去公因数。

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

解题步骤 7.4.3

重写表达式。

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}}{1}$

解题步骤 7.4.4

用 $3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$y = 3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$

微积分学 示例

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