微积分学示例

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \cos^{2} (x)$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $x^{2} y$ 项的导数的结果。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} y' + y (2 x)$

解题步骤 1.4

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

解题步骤 1.5

去掉圆括号。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

解题步骤 1.6

移动 $y$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \cos^{2} (x)$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$x^{2} y = \int \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 5

对右边积分。

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解题步骤 5.1

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (x)$ 的形式。

$x^{2} y = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

解题步骤 5.2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x^{2} y = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

解题步骤 5.3

将单个积分拆分为多个积分。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

解题步骤 5.4

应用常数不变法则。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

解题步骤 5.5

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.5.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.5.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.5.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 5.5.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 5.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 5.6

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 5.7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 5.8

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

解题步骤 5.9

化简。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 5.10

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

解题步骤 5.11

化简。

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解题步骤 5.11.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

解题步骤 5.11.2

运用分配律。

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 5.11.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 5.11.4

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ 。

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解题步骤 5.11.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sin (2 x)}{2}$ 。

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 5.11.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

解题步骤 5.12

重新排序项。

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

解题步骤 6

将 $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.1

从 $\frac{1}{2} x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.4

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{\sin (2 x)}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.5

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.6

合并。

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x) \cdot 1}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.7

将 $\sin (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

微积分学 示例

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