微积分学示例

$(2 x y) d x + (x^{2} - 1) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $2 x y d x$ 。

$(x^{2} - 1) d y = - 2 x y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(x^{2} - 1) y}$ 。

$\frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x^{2} - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $(x^{2} - 1) y$ 中分解出因数 $x^{2} - 1$ 。

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y)} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x y) d x$

解题步骤 3.3

化简分母。

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解题步骤 3.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} - 1^{2}) y} (x y) d x$

解题步骤 3.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x + 1) (x - 1) y} (x y) d x$

解题步骤 3.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{(x + 1) (x - 1) y}$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x + 1) (x - 1) y} (x y) d x$

解题步骤 3.5

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $(x + 1) (x - 1) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (x y) d x$

解题步骤 3.5.2

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (y x) d x$

解题步骤 3.5.3

约去公因数。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (y x) d x$

解题步骤 3.5.4

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)} x d x$

解题步骤 3.6

组合 $\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$ 和 $x$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.3.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x)$

解题步骤 4.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.3.4

使 $u = (x + 1) (x - 1)$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.4.1

设 $u = (x + 1) (x - 1)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.4.1.1

对 $(x + 1) (x - 1)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

解题步骤 4.3.4.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.3.4.1.3.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.4.1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.4.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 4.3.4.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.4.1.3.4.2

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.4.1.3.5

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.3.4.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.3.4.1.3.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

解题步骤 4.3.4.1.3.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.3.4.1.3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

解题步骤 4.3.4.1.3.8.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$x + 1 + x - 1$

解题步骤 4.3.4.1.3.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$2 x + 1 - 1$

解题步骤 4.3.4.1.3.8.4

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.3.4.1.3.8.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 4.3.4.1.3.8.4.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 4.3.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 4.3.5

化简。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 4.3.5.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 4.3.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 4.3.7

化简。

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解题步骤 4.3.7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 2$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.7.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.7.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.7.2.2.2

约去公因数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.7.2.2.3

重写表达式。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.7.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4.3.8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.9

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 4.3.10

使用 $(x + 1) (x - 1)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) + \ln (| (x + 1) (x - 1) |) = C$

解题步骤 5.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| y | | (x + 1) (x - 1) |) = C$

解题步骤 5.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 5.3.1

运用分配律。

$\ln (| y | | x (x - 1) + 1 (x - 1) |) = C$

解题步骤 5.3.2

运用分配律。

$\ln (| y | | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) = C$

解题步骤 5.3.3

运用分配律。

$\ln (| y | | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

解题步骤 5.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (| y | | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

解题步骤 5.4.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (| y | | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

解题步骤 5.4.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\ln (| y | | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

解题步骤 5.4.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y | | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) = C$

解题步骤 5.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y | | x^{2} - x + x - 1 |) = C$

解题步骤 5.4.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\ln (| y | | x^{2} + 0 - 1 |) = C$

解题步骤 5.4.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\ln (| y | | x^{2} - 1 |) = C$

解题步骤 5.5

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln (| y (x^{2} - 1) |) = C$

解题步骤 5.6

通过相乘进行化简。

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解题步骤 5.6.1

运用分配律。

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 1 |) = C$

解题步骤 5.6.2

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$\ln (| y x^{2} - 1 \cdot y |) = C$

解题步骤 5.7

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\ln (| y x^{2} - y |) = C$

解题步骤 5.8

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y x^{2} - y |)} = e^{C}$

解题步骤 5.9

使用对数的定义将 $\ln (| y x^{2} - y |) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = | y x^{2} - y |$

解题步骤 5.10

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.10.1

将方程重写为 $| y x^{2} - y | = e^{C}$ 。

$| y x^{2} - y | = e^{C}$

解题步骤 5.10.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y x^{2} - y = \pm e^{C}$

解题步骤 5.10.3

从 $y x^{2} - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 5.10.3.1

从 $y x^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x^{2}) - y = \pm e^{C}$

解题步骤 5.10.3.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x^{2}) + y \cdot - 1 = \pm e^{C}$

解题步骤 5.10.3.3

从 $y (x^{2}) + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (x^{2} - 1) = \pm e^{C}$

解题步骤 5.10.4

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y (x^{2} - 1^{2}) = \pm e^{C}$

解题步骤 5.10.5

因数。

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解题步骤 5.10.5.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$y ((x + 1) (x - 1)) = \pm e^{C}$

解题步骤 5.10.5.2

去掉多余的括号。

$y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$

解题步骤 5.10.6

将 $y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$ 中的每一项除以 $(x + 1) (x - 1)$ 并化简。

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解题步骤 5.10.6.1

将 $y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$ 中的每一项都除以 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$\frac{y (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.10.6.2

化简左边。

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解题步骤 5.10.6.2.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.10.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.10.6.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.10.6.2.2

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.10.6.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.10.6.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 6

化简积分常数。

$y = \frac{C}{(x + 1) (x - 1)}$

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