微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = e^{x} \sin (x) + x \cos (x)$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (e^{x} \sin (x) + x \cos (x)) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) d x + \int x \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.2

将 $e^{x}$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$y + C_{1} = \int \sin (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (x)$ ， $d v = e^{x}$ 。

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x + \int x \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.4

将 $e^{x}$ 和 $\cos (x)$ 重新排序。

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (x)$ ， $d v = e^{x}$ 。

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.7

通过相乘进行化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.7.2

将 $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.7.3

运用分配律。

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x + \int x \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.8

求解 $\int e^{x} \sin (x) d x$ ，我们发现 $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C_{2} + \int x \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.9

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

解题步骤 2.3.10

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

解题步骤 2.3.11

化简。

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解题步骤 2.3.11.1

化简。

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解题步骤 2.3.11.1.1

将 $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2}$ 和 $x \sin (x)$ 相加。

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解题步骤 2.3.11.1.1.1

移动 $\cos (x)$ 。

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

解题步骤 2.3.11.1.1.2

要将 $x \sin (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) \cdot \frac{2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

解题步骤 2.3.11.1.1.3

组合 $x \sin (x)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + \frac{x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

解题步骤 2.3.11.1.1.4

在公分母上合并分子。

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

解题步骤 2.3.11.1.2

将 $2$ 移到 $x \sin (x)$ 的左侧。

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

解题步骤 2.3.11.2

化简。

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) + C_{4}$

解题步骤 2.3.11.3

化简。

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解题步骤 2.3.11.3.1

要将 $\cos (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) \cdot \frac{2}{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.11.3.2

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.11.3.3

在公分母上合并分子。

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.11.3.4

将 $2$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.11.4

重新排序项。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + K$

微积分学 示例

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