微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 6 y + \ln (x) = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\ln (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} + 6 y = - \ln (x)$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 6$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int 6 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{6 x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{6 x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{6 x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{6 x}$ 。

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + e^{6 x} (6 y) = e^{6 x} (- \ln (x))$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = e^{6 x} (- \ln (x))$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = - e^{6 x} \ln (x)$

解题步骤 3.4

将 $e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = - e^{6 x} \ln (x)$ 中的因式重新排序。

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 y e^{6 x} = - e^{6 x} \ln (x)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{6 x} y] = - e^{6 x} \ln (x)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{6 x} y] d x = \int - e^{6 x} \ln (x) d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{6 x} y = \int - e^{6 x} \ln (x) d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{6 x} y = - \int e^{6 x} \ln (x) d x$

解题步骤 7.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = e^{6 x}$ 。

$e^{6 x} y = - (\ln (x) (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $e^{6 x}$ 。

$e^{6 x} y = - (\ln (x) \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 7.3.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{e^{6 x}}{6}$ 。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 7.3.3

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $e^{6 x}$ 。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} \cdot \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 7.3.4

将 $\frac{e^{6 x}}{6}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6 x} d x)$

解题步骤 7.4

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{e^{6 x}}{x} d x))$

解题步骤 7.5

使 $u = 6 x$ 。然后使 $d u = 6 d x$ ，以便 $\frac{1}{6} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.5.1

设 $u = 6 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.5.1.1

对 $6 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 7.5.1.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1$

解题步骤 7.5.1.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6$

解题步骤 7.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{\frac{u}{6}} \cdot \frac{1}{6} d u)$

解题步骤 7.6

化简。

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解题步骤 7.6.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{u}{6}$ 。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{6}{u} \frac{1}{6} d u)$

解题步骤 7.6.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{6}{u}$ 。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u} \cdot 6}{u} \cdot \frac{1}{6} d u)$

解题步骤 7.6.3

将 $6$ 移到 $e^{u}$ 的左侧。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 \cdot e^{u}}{u} \cdot \frac{1}{6} d u)$

解题步骤 7.6.4

将 $\frac{6 e^{u}}{u}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{u \cdot 6} d u)$

解题步骤 7.6.5

将 $6$ 移到 $u$ 的左侧。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{6 \cdot u} d u)$

解题步骤 7.6.6

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.6.6.1

约去公因数。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{6 u} d u)$

解题步骤 7.6.6.2

重写表达式。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{u} d u)$

解题步骤 7.7

$\int \frac{e^{u}}{u} d u$ 是一个特殊积分。该积分是指数积分函数。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (E i (u) + C))$

解题步骤 7.8

将 $- (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (E i (u) + C))$ 重写为 $- (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i (u)}{6}) + C$ 。

$e^{6 x} y = - (\frac{1}{6} \ln (x) e^{6 x} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

乘以 $\frac{1}{6} (\ln (x) e^{6 x})$ 。

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解题步骤 8.1.1.1

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x)}{6} e^{6 x} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

解题步骤 8.1.1.2

组合 $\frac{\ln (x)}{6}$ 和 $e^{6 x}$ 。

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i u}{6}) + C$

解题步骤 8.1.2

运用分配律。

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - - \frac{E i u}{6} + C$

解题步骤 8.1.3

乘以 $- - \frac{E i u}{6}$ 。

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解题步骤 8.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + 1 \frac{E i u}{6} + C$

解题步骤 8.1.3.2

将 $\frac{E i u}{6}$ 乘以 $1$ 。

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + \frac{E i u}{6} + C$

解题步骤 8.1.4

将 $- \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + \frac{E i u}{6}$ 中的因式重新排序。

$e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$

解题步骤 8.2

将 $e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$ 中的每一项除以 $e^{6 x}$ 并化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$ 中的每一项都除以 $e^{6 x}$ 。

$\frac{e^{6 x} y}{e^{6 x}} = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.1

约去 $e^{6 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{6 x} y}{e^{6 x}} = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 8.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.2

约去 $e^{6 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.2.1

将 $- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$y = \frac{- e^{6 x} \ln (x)}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.2.2

从 $- e^{6 x} \ln (x)$ 中分解出因数 $e^{6 x}$ 。

$y = \frac{e^{6 x} (- 1 \ln (x))}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.2.3

约去公因数。

$y = \frac{e^{6 x} (- 1 \ln (x))}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.2.4

重写表达式。

$y = \frac{- 1 \ln (x)}{6} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.3

将 $\frac{- 1 \ln (x)}{6}$ 重写为 $\frac{- 1}{6} \ln (x)$ 。

$y = \frac{- 1}{6} \ln (x) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{- 1}{6} \ln (x)$ 。

$y = - \ln (x^{- \frac{- 1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.5

将负号移到分数的前面。

$y = - \ln (x^{- - \frac{1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.6

乘以 $- - \frac{1}{6}$ 。

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解题步骤 8.2.3.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \ln (x^{1 (\frac{1}{6})}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.6.2

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $1$ 。

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.7

将分子乘以分母的倒数。

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.8

合并。

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u \cdot 1}{6 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.9

将 $E$ 乘以 $1$ 。

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u}{6 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

微积分学 示例

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