微积分学示例

$y d y - (2 x y + x) d x = 0$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

重写。

$- (2 x y + x) d x + y d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = - (2 x y + x)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y + x)]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- (2 x y + x)$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [2 x y + x]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y + x]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $2 x y + x$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 2.4

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $y$ 的导数是 $2 x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 2.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 2.7

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + 0)$

解题步骤 2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x)$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = y$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $- 2 x$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $0$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 2 x = 0$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$- 2 x = 0$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $0$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 5.2

代入 $- 2 x$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{0 - (- 2 x)}{M}$

解题步骤 5.3

代入 $- (2 x y + x)$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $- (2 x y + x)$ 替换 $M$ 。

$\frac{0 - (- 2 x)}{- (2 x y + x)}$

解题步骤 5.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0 + 2 x}{- (2 x y + x)}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{2 x}{- (2 x y + x)}$

解题步骤 5.3.3

从 $2 x y + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x)}$

解题步骤 5.3.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x^{1})}$

解题步骤 5.3.3.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x \cdot 1)}$

解题步骤 5.3.3.4

从 $x (2 y) + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 x}{- (x (2 y + 1))}$

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

解题步骤 5.3.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

解题步骤 5.3.4.2

重写表达式。

$\frac{2}{- (2 y + 1)}$

解题步骤 5.3.5

代入 $- (2 x y + x)$ 替换 $M$ 。

$- \frac{2}{2 y + 1}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$ 。

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解题步骤 6.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{2 y + 1} d y}$

解题步骤 6.2

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y)}$

解题步骤 6.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y}$

解题步骤 6.4

使 $u = 2 y + 1$ 。然后使 $d u = 2 d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.4.1

设 $u = 2 y + 1$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 6.4.1.1

对 $2 y + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

解题步骤 6.4.1.2

根据加法法则， $2 y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 6.4.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [2 y]$ 。

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解题步骤 6.4.1.3.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 6.4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 6.4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 6.4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.4.1.4.1

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 6.4.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 6.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

解题步骤 6.5

化简。

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解题步骤 6.5.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

解题步骤 6.5.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

解题步骤 6.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

解题步骤 6.7

化简。

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解题步骤 6.7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 2$ 。

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 6.7.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 6.7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.7.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 6.7.2.2.2

约去公因数。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 6.7.2.2.3

重写表达式。

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 6.7.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 6.8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

解题步骤 6.9

化简。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

解题步骤 6.10

使用 $2 y + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 y + 1 |)} + C$

解题步骤 6.11

化简每一项。

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解题步骤 6.11.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln (| 2 y + 1 |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 y + 1 |}^{- 1})} + C$

解题步骤 6.11.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| 2 y + 1 |}^{- 1} + C$

解题步骤 6.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 y + 1 |} + C$

解题步骤 7

在 $- (2 x y + x) d x + y d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{2 y + 1}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $- (2 x y + x)$ 乘以 $\frac{1}{2 y + 1}$ 。

$- (2 x y + x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$(- (2 x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

解题步骤 7.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 2 (x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

解题步骤 7.4

将 $- 2 x y - x$ 乘以 $\frac{1}{2 y + 1}$ 。

$\frac{- 2 x y - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

解题步骤 7.5

从 $- 2 x y - x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.5.1

从 $- 2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- 2 y) - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

解题步骤 7.5.2

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- 2 y) + x \cdot - 1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

解题步骤 7.5.3

从 $x (- 2 y) + x \cdot - 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- 2 y - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

解题步骤 7.6

约去 $- 2 y - 1$ 和 $2 y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 7.6.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (2 y) - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

解题步骤 7.6.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{x (- (2 y) - 1 (1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

解题步骤 7.6.3

从 $- (2 y) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

解题步骤 7.6.4

将 $- (2 y + 1)$ 重写为 $- 1 (2 y + 1)$ 。

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

解题步骤 7.6.5

约去公因数。

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

解题步骤 7.6.6

用 $x \cdot (- 1)$ 除以 $1$ 。

$x \cdot (- 1) d x + y d y = 0$

解题步骤 7.7

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 1 x d x + y d y = 0$

解题步骤 7.8

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$- x d x + y d y = 0$

解题步骤 7.9

将 $y$ 乘以 $\frac{1}{2 y + 1}$ 。

$- x d x + y \frac{1}{2 y + 1} d y = 0$

解题步骤 7.10

组合 $y$ 和 $\frac{1}{2 y + 1}$ 。

$- x d x + \frac{y}{2 y + 1} d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int - x d x$

解题步骤 9

对 $M (x, y) = - x$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$f (x, y) = - \int x d x$

解题步骤 9.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 9.3

将 $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ 。

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 10

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 y + 1}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

解题步骤 12.3

因为 $- \frac{1}{2} x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2} x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

解题步骤 12.5

将 $0$ 和 $\frac{d g}{d y}$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

解题步骤 13

求 $\frac{y}{2 y + 1}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

解题步骤 13.3

用 $y$ 除以 $2 y + 1$ 。

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解题步骤 13.3.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 y$

$1$

$y$

$0$

解题步骤 13.3.2

将被除数中的最高阶项 $y$ 除以除数中的最高阶项 $2 y$ 。

					$\frac{1}{2}$
	$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

解题步骤 13.3.3

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{2}$

解题步骤 13.3.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y + \frac{1}{2}$ 中的所有符号

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$

解题步骤 13.3.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

解题步骤 13.3.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$g (y) = \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

解题步骤 13.4

将单个积分拆分为多个积分。

$g (y) = \int \frac{1}{2} d y + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

解题步骤 13.5

应用常数不变法则。

$g (y) = \frac{1}{2} y + C + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

解题步骤 13.6

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \int \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

解题步骤 13.7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y)$

解题步骤 13.8

去掉圆括号。

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y$

解题步骤 13.9

使 $u = 2 y + 1$ 。然后使 $d u = 2 d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 13.9.1

设 $u = 2 y + 1$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 13.9.1.1

对 $2 y + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

解题步骤 13.9.1.2

根据加法法则， $2 y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 13.9.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [2 y]$ 。

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解题步骤 13.9.1.3.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 13.9.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 13.9.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 13.9.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 13.9.1.4.1

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 13.9.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 13.9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 13.10

化简。

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解题步骤 13.10.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 13.10.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

解题步骤 13.10.3

将 $2$ 乘以 $u$ 。

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 13.11

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 13.12

化简。

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解题步骤 13.12.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 13.12.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 13.13

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 13.14

化简。

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

解题步骤 13.15

使用 $2 y + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

解题步骤 15

化简 $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$ 。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

解题步骤 15.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y$ 。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

解题步骤 15.1.3

乘以 $- \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ 。

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解题步骤 15.1.3.1

将 $\ln (| 2 y + 1 |)$ 和 $\frac{1}{4}$ 重新排序。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - (\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)) + C$

解题步骤 15.1.3.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ 。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C$

解题步骤 15.2

要将 $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 15.3

组合 $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 15.4

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 15.5

化简分子。

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解题步骤 15.5.1

乘以 $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ 。

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解题步骤 15.5.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}{2} + C$

解题步骤 15.5.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ 。

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2})}{2} + C$

解题步骤 15.5.2

将 ${({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 15.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2})}{2} + C$

解题步骤 15.5.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.5.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2})}{2} + C$

解题步骤 15.5.2.2.2

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2})}{2} + C$

解题步骤 15.5.2.2.3

重写表达式。

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

微积分学 示例

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