微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 3 \cos (2 x)$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 4$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int 4 d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{4 x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{4 x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{4 x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (3 \cos (2 x))$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (3 \cos (2 x))$

解题步骤 2.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 3 e^{4 x} \cos (2 x)$

解题步骤 2.4

将 $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 3 e^{4 x} \cos (2 x)$ 中的因式重新排序。

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = 3 e^{4 x} \cos (2 x)$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = 3 e^{4 x} \cos (2 x)$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int 3 e^{4 x} \cos (2 x) d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{4 x} y = \int 3 e^{4 x} \cos (2 x) d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{4 x} y = 3 \int e^{4 x} \cos (2 x) d x$

解题步骤 6.2

将 $e^{4 x}$ 和 $\cos (2 x)$ 重新排序。

$e^{4 x} y = 3 \int \cos (2 x) e^{4 x} d x$

解题步骤 6.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (2 x)$ ， $d v = e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\cos (2 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (- 2 \sin (2 x)) d x)$

解题步骤 6.4

由于 $\frac{1}{4} \cdot - 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4} \cdot - 2$ 移到积分外。

$e^{4 x} y = 3 (\cos (2 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot - 2 \int e^{4 x} (\sin (2 x)) d x))$

解题步骤 6.5

合并分数。

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解题步骤 6.5.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\cos (2 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 2 \int e^{4 x} (\sin (2 x)) d x))$

解题步骤 6.5.2

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{e^{4 x}}{4}$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 2 \int e^{4 x} (\sin (2 x)) d x))$

解题步骤 6.5.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 2$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 2}{4} \int e^{4 x} (\sin (2 x)) d x))$

解题步骤 6.5.4

将 $e^{4 x}$ 和 $\sin (2 x)$ 重新排序。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 2}{4} \int \sin (2 x) e^{4 x} d x))$

解题步骤 6.6

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (2 x)$ ， $d v = e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 2}{4} (\sin (2 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 \cos (2 x)) d x)))$

解题步骤 6.7

由于 $\frac{1}{4} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4} \cdot 2$ 移到积分外。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 2}{4} (\sin (2 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x))))$

解题步骤 6.8

化简项。

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解题步骤 6.8.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 2}{4} (\sin (2 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x))))$

解题步骤 6.8.2

组合 $\sin (2 x)$ 和 $\frac{e^{4 x}}{4}$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 2}{4} (\frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x))))$

解题步骤 6.8.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $2$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 2}{4} (\frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x))))$

解题步骤 6.8.4

运用分配律。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 2}{4} \cdot \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 2}{4} (- (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x)))$

解题步骤 6.8.5

将 $\frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{4}$ 乘以 $\frac{- 2}{4}$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{4 \cdot 4} - \frac{- 2}{4} (- (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x)))$

解题步骤 6.8.6

乘。

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解题步骤 6.8.6.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{16} - \frac{- 2}{4} (- (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x)))$

解题步骤 6.8.6.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{16} + 1 (\frac{- 2}{4}) (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x))$

解题步骤 6.8.6.3

将 $\frac{- 2}{4}$ 乘以 $1$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{16} + \frac{- 2}{4} (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x))$

解题步骤 6.8.7

将 $\frac{2}{4}$ 乘以 $\frac{- 2}{4}$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{16} + \frac{2 \cdot - 2}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x)$

解题步骤 6.8.8

乘。

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解题步骤 6.8.8.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{16} + \frac{- 4}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x)$

解题步骤 6.8.8.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{16} + \frac{- 4}{16} \int e^{4 x} (\cos (2 x)) d x)$

解题步骤 6.9

求解 $\int e^{4 x} \cos (2 x) d x$ ，我们发现 $\int e^{4 x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{16}}{\frac{20}{16}}$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot - 2}{16}}{\frac{20}{16}} + C)$

解题步骤 6.10

化简答案。

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解题步骤 6.10.1

化简。

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解题步骤 6.10.1.1

将 $- 2$ 移到 $\sin (2 x) e^{4 x}$ 的左侧。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 2 \cdot (\sin (2 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{20}{16}} + C)$

解题步骤 6.10.1.2

约去 $- 2$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 6.10.1.2.1

从 $- 2 \sin (2 x) e^{4 x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{2 (- \sin (2 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{20}{16}} + C)$

解题步骤 6.10.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.10.1.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{2 (- \sin (2 x) e^{4 x})}{2 (8)}}{\frac{20}{16}} + C)$

解题步骤 6.10.1.2.2.2

约去公因数。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{2 (- \sin (2 x) e^{4 x})}{2 \cdot 8}}{\frac{20}{16}} + C)$

解题步骤 6.10.1.2.2.3

重写表达式。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- \sin (2 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{20}{16}} + C)$

解题步骤 6.10.1.3

将负号移到分数的前面。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} - - \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{20}{16}} + C)$

解题步骤 6.10.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} + 1 \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{20}{16}} + C)$

解题步骤 6.10.1.5

将 $\frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}$ 乘以 $1$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{20}{16}} + C)$

解题步骤 6.10.1.6

约去 $20$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 6.10.1.6.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{4 (5)}{16}} + C)$

解题步骤 6.10.1.6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.10.1.6.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 4}} + C)$

解题步骤 6.10.1.6.2.2

约去公因数。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 4}} + C)$

解题步骤 6.10.1.6.2.3

重写表达式。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}}{\frac{5}{4}} + C)$

解题步骤 6.10.1.7

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{5}{4}$ 。

$e^{4 x} y = 3 ((\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}) \frac{4}{5} + C)$

解题步骤 6.10.2

将 $3 ((\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{4} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{8}) \frac{4}{5} + C)$ 重写为 $3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{4 \cdot 5} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{8 \cdot 5}) + C$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{4 \cdot 5} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{8 \cdot 5}) + C$

解题步骤 6.10.3

化简。

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解题步骤 6.10.3.1

将 $4$ 移到 $\cos (2 x) e^{4 x}$ 的左侧。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{4 \cdot (\cos (2 x) e^{4 x})}{4 \cdot 5} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{8 \cdot 5}) + C$

解题步骤 6.10.3.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{4 \cos (2 x) e^{4 x}}{20} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{8 \cdot 5}) + C$

解题步骤 6.10.3.3

约去 $4$ 和 $20$ 的公因数。

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解题步骤 6.10.3.3.1

从 $4 \cos (2 x) e^{4 x}$ 中分解出因数 $4$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{4 (\cos (2 x) e^{4 x})}{20} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{8 \cdot 5}) + C$

解题步骤 6.10.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.10.3.3.2.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{4 (\cos (2 x) e^{4 x})}{4 \cdot 5} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{8 \cdot 5}) + C$

解题步骤 6.10.3.3.2.2

约去公因数。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{4 (\cos (2 x) e^{4 x})}{4 \cdot 5} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{8 \cdot 5}) + C$

解题步骤 6.10.3.3.2.3

重写表达式。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{5} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x} \cdot 4}{8 \cdot 5}) + C$

解题步骤 6.10.3.4

将 $4$ 移到 $\sin (2 x) e^{4 x}$ 的左侧。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{5} + \frac{4 \cdot (\sin (2 x) e^{4 x})}{8 \cdot 5}) + C$

解题步骤 6.10.3.5

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{5} + \frac{4 \sin (2 x) e^{4 x}}{40}) + C$

解题步骤 6.10.3.6

约去 $4$ 和 $40$ 的公因数。

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解题步骤 6.10.3.6.1

从 $4 \sin (2 x) e^{4 x}$ 中分解出因数 $4$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{5} + \frac{4 (\sin (2 x) e^{4 x})}{40}) + C$

解题步骤 6.10.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.10.3.6.2.1

从 $40$ 中分解出因数 $4$ 。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{5} + \frac{4 (\sin (2 x) e^{4 x})}{4 \cdot 10}) + C$

解题步骤 6.10.3.6.2.2

约去公因数。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{5} + \frac{4 (\sin (2 x) e^{4 x})}{4 \cdot 10}) + C$

解题步骤 6.10.3.6.2.3

重写表达式。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{5} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{10}) + C$

解题步骤 6.10.4

化简。

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解题步骤 6.10.4.1

将 $\frac{\cos (2 x) e^{4 x}}{5}$ 中的因式重新排序。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{e^{4 x} \cos (2 x)}{5} + \frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{10}) + C$

解题步骤 6.10.4.2

将 $\frac{\sin (2 x) e^{4 x}}{10}$ 中的因式重新排序。

$e^{4 x} y = 3 (\frac{1}{5} e^{4 x} \cos (2 x) + \frac{1}{10} e^{4 x} \sin (2 x)) + C$

解题步骤 7

将 $e^{4 x} y = 3 (\frac{1}{5} \cdot (e^{4 x} \cos (2 x)) + \frac{1}{10} \cdot (e^{4 x} \sin (2 x))) + C$ 中的每一项除以 $e^{4 x}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{4 x} y = 3 (\frac{1}{5} \cdot (e^{4 x} \cos (2 x)) + \frac{1}{10} \cdot (e^{4 x} \sin (2 x))) + C$ 中的每一项都除以 $e^{4 x}$ 。

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{3 (\frac{1}{5} \cdot (e^{4 x} \cos (2 x)) + \frac{1}{10} \cdot (e^{4 x} \sin (2 x)))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{4 x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{3 (\frac{1}{5} \cdot (e^{4 x} \cos (2 x)) + \frac{1}{10} \cdot (e^{4 x} \sin (2 x)))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{3 (\frac{1}{5} \cdot (e^{4 x} \cos (2 x)) + \frac{1}{10} \cdot (e^{4 x} \sin (2 x)))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

化简分子。

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解题步骤 7.3.1.1.1

从 $\frac{1}{5} \cdot e^{4 x} \cos (2 x) + \frac{1}{10} \cdot e^{4 x} \sin (2 x)$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

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解题步骤 7.3.1.1.1.1

从 $\frac{1}{5} \cdot e^{4 x} \cos (2 x)$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

$y = \frac{3 (e^{4 x} (\frac{1}{5} \cos (2 x)) + \frac{1}{10} \cdot e^{4 x} \sin (2 x))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.1.1.1.2

从 $\frac{1}{10} \cdot e^{4 x} \sin (2 x)$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

$y = \frac{3 (e^{4 x} (\frac{1}{5} \cos (2 x)) + e^{4 x} (\frac{1}{10} \sin (2 x)))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.1.1.1.3

从 $e^{4 x} (\frac{1}{5} \cos (2 x)) + e^{4 x} (\frac{1}{10} \sin (2 x))$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

$y = \frac{3 (e^{4 x} (\frac{1}{5} \cos (2 x) + \frac{1}{10} \sin (2 x)))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.1.1.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $\cos (2 x)$ 。

$y = \frac{3 (e^{4 x} (\frac{\cos (2 x)}{5} + \frac{1}{10} \sin (2 x)))}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.1.1.3

组合 $\frac{1}{10}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$y = \frac{3 e^{4 x} (\frac{\cos (2 x)}{5} + \frac{\sin (2 x)}{10})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.1.2

约去 $e^{4 x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.2.1

约去公因数。

$y = \frac{3 e^{4 x} (\frac{\cos (2 x)}{5} + \frac{\sin (2 x)}{10})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.1.2.2

用 $3 (\frac{\cos (2 x)}{5} + \frac{\sin (2 x)}{10})$ 除以 $1$ 。

$y = 3 (\frac{\cos (2 x)}{5} + \frac{\sin (2 x)}{10}) + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.1.3

运用分配律。

$y = 3 \frac{\cos (2 x)}{5} + 3 \frac{\sin (2 x)}{10} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.1.4

组合 $3$ 和 $\frac{\cos (2 x)}{5}$ 。

$y = \frac{3 \cos (2 x)}{5} + 3 \frac{\sin (2 x)}{10} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.3.1.5

组合 $3$ 和 $\frac{\sin (2 x)}{10}$ 。

$y = \frac{3 \cos (2 x)}{5} + \frac{3 \sin (2 x)}{10} + \frac{C}{e^{4 x}}$

微积分学 示例

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