微积分学示例

$(2 x + x y) d x + y d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 2 x + x y$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + x y]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $2 x + x y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$

解题步骤 1.2.2

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [x y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x y$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

解题步骤 1.4

将 $0$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $0$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$x = 0$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $0$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 4.2

代入 $x$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{0 - x}{M}$

解题步骤 4.3

代入 $2 x + x y$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $2 x + x y$ 替换 $M$ 。

$\frac{0 - x}{2 x + x y}$

解题步骤 4.3.2

从 $0$ 中减去 $x$ 。

$\frac{- x}{2 x + x y}$

解题步骤 4.3.3

从 $2 x + x y$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x y}$

解题步骤 4.3.3.2

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x (y)}$

解题步骤 4.3.3.3

从 $x \cdot 2 + x (y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

解题步骤 4.3.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

解题步骤 4.3.4.2

重写表达式。

$\frac{- 1}{2 + y}$

解题步骤 4.3.5

代入 $2 x + x y$ 替换 $M$ 。

$- \frac{1}{2 + y}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 + y} d y}$

解题步骤 5.2

使 $u = 2 + y$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.2.1

设 $u = 2 + y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $2 + y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

解题步骤 5.2.1.2

根据加法法则， $2 + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 5.2.1.3

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 5.2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 5.2.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.3

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

解题步骤 5.4

化简。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

解题步骤 5.5

使用 $2 + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 + y |)} + C$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln (| 2 + y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 + y |}^{- 1})} + C$

解题步骤 5.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| 2 + y |}^{- 1} + C$

解题步骤 5.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 + y |} + C$

解题步骤 6

在 $(2 x + x y) d x + y d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{2 + y}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $2 x + x y$ 乘以 $\frac{1}{2 + y}$ 。

$(2 x + x y) \frac{1}{2 + y} d x + y d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $2 x + x y$ 乘以 $\frac{1}{2 + y}$ 。

$\frac{2 x + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

解题步骤 6.3

从 $2 x + x y$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 2 + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

解题步骤 6.3.2

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 2 + x (y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

解题步骤 6.3.3

从 $x \cdot 2 + x (y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

解题步骤 6.4

约去 $2 + y$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

约去公因数。

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

解题步骤 6.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x d x + y d y = 0$

解题步骤 6.5

将 $y$ 乘以 $\frac{1}{2 + y}$ 。

$x d x + y \frac{1}{2 + y} d y = 0$

解题步骤 6.6

组合 $y$ 和 $\frac{1}{2 + y}$ 。

$x d x + \frac{y}{2 + y} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int x d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = x$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 + y}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

解题步骤 11.3

因为 $\frac{1}{2} x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

解题步骤 11.5

将 $0$ 和 $\frac{d g}{d y}$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

解题步骤 12

求 $\frac{y}{2 + y}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 12.1

对 $\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 + y} d y$

解题步骤 12.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int \frac{y}{2 + y} d y$

解题步骤 12.3

将 $2$ 和 $y$ 重新排序。

$g (y) = \int \frac{y}{y + 2} d y$

解题步骤 12.4

用 $y$ 除以 $y + 2$ 。

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解题步骤 12.4.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$2$

$y$

$0$

解题步骤 12.4.2

将被除数中的最高阶项 $y$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

					$1$
	$y$	+	$2$		$y$	+	$0$

解题步骤 12.4.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$2$

解题步骤 12.4.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y + 2$ 中的所有符号

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$

解题步骤 12.4.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$
					-	$2$

解题步骤 12.4.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$g (y) = \int 1 - \frac{2}{y + 2} d y$

解题步骤 12.5

将单个积分拆分为多个积分。

$g (y) = \int d y + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

解题步骤 12.6

应用常数不变法则。

$g (y) = y + C + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

解题步骤 12.7

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = y + C - \int \frac{2}{y + 2} d y$

解题步骤 12.8

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$g (y) = y + C - (2 \int \frac{1}{y + 2} d y)$

解题步骤 12.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{y + 2} d y$

解题步骤 12.10

使 $u = y + 2$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 12.10.1

设 $u = y + 2$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 12.10.1.1

对 $y + 2$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

解题步骤 12.10.1.2

根据加法法则， $y + 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 12.10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 12.10.1.4

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 12.10.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 12.10.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 12.11

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$g (y) = y + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 12.12

化简。

$g (y) = y - 2 \ln (| u |) + C$

解题步骤 12.13

使用 $y + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g (y) = y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

解题步骤 13

在 $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

解题步骤 14

化简 $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$ 。

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解题步骤 14.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

解题步骤 14.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| y + 2 |)$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({| y + 2 |}^{2}) + C$

解题步骤 14.1.3

去掉 ${| y + 2 |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({(y + 2)}^{2}) + C$

解题步骤 14.2

要将 $- \ln ({(y + 2)}^{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 14.3

组合 $- \ln ({(y + 2)}^{2})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 14.4

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 14.5

化简分子。

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解题步骤 14.5.1

乘以 $- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2$ 。

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解题步骤 14.5.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - 2 \ln ({(y + 2)}^{2})}{2} + C$

解题步骤 14.5.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln ({(y + 2)}^{2})$ 。

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({({(y + 2)}^{2})}^{2})}{2} + C$

解题步骤 14.5.2

将 ${({(y + 2)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 14.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2 \cdot 2})}{2} + C$

解题步骤 14.5.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{4})}{2} + C$

微积分学 示例

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