微积分学示例

$4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ 中的每一项除以 $4 x y$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ 中的每一项都除以 $4 x y$ 。

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.2.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.2.3.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.1.1

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.1.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.1.2.1

从 $4 x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} + \frac{- 1}{4 x y}$

解题步骤 1.1.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} - \frac{1}{4 x y}$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

要将 $\frac{y}{4 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{4 x y}$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{y}{4 x}$ 乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} - \frac{1}{4 x y}$

解题步骤 1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 1}{4 x y}$

解题步骤 1.2.4

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y - 1}{4 x y}$

解题步骤 1.2.4.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y^{1} - 1}{4 x y}$

解题步骤 1.2.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1 + 1} - 1}{4 x y}$

解题步骤 1.2.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1}{4 x y}$

解题步骤 1.2.4.5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1^{2}}{4 x y}$

解题步骤 1.2.4.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 x y}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)}$ 。

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} (\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

解题步骤 1.5.2

约去 $4 y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $4 y x$ 中分解出因数 $4 y$ 。

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y (x)}$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

解题步骤 1.5.2.3

重写表达式。

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

解题步骤 1.5.3

约去 $(y + 1) (y - 1)$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

约去公因数。

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

解题步骤 1.5.3.2

重写表达式。

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

使 $u = (y + 1) (y - 1)$ 。然后使 $d u = 2 y d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = y d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u = (y + 1) (y - 1)$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $(y + 1) (y - 1)$ 求导。

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y + 1$ 且 $g (y) = y - 1$ 。

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.2.2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.2.2.1.3.1

根据加法法则， $y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.2.2.1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.2.2.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.2.2.1.3.4.2

将 $y + 1$ 乘以 $1$ 。

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.2.2.1.3.5

根据加法法则， $y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

解题步骤 2.2.2.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

解题步骤 2.2.2.1.3.7

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

解题步骤 2.2.2.1.3.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1.3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.1.3.8.2

将 $y - 1$ 乘以 $1$ 。

$y + 1 + y - 1$

解题步骤 2.2.2.1.3.8.3

将 $y$ 和 $y$ 相加。

$2 y + 1 - 1$

解题步骤 2.2.2.1.3.8.4

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1.3.8.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$2 y + 0$

解题步骤 2.2.2.1.3.8.4.2

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$2 y$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.3.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$4 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

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解题步骤 2.2.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.5.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.5.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.5.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.7

化简。

$2 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.8

使用 $(y + 1) (y - 1)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = \ln (| x |) + C$

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