微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} y^{3} - x^{2} y^{3}}{x + x y^{4}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从 $x^{3} y^{3} - x^{2} y^{3}$ 中分解出因数 $x^{2} y^{3}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $x^{3} y^{3}$ 中分解出因数 $x^{2} y^{3}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x) - x^{2} y^{3}}{x + x y^{4}}$

解题步骤 1.1.2

从 $- x^{2} y^{3}$ 中分解出因数 $x^{2} y^{3}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x) + x^{2} y^{3} (- 1)}{x + x y^{4}}$

解题步骤 1.1.3

从 $x^{2} y^{3} (x) + x^{2} y^{3} (- 1)$ 中分解出因数 $x^{2} y^{3}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x + x y^{4}}$

解题步骤 1.2

从 $x + x y^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x^{1} + x y^{4}}$

解题步骤 1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot 1 + x y^{4}}$

解题步骤 1.2.3

从 $x y^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot 1 + x (y^{4})}$

解题步骤 1.2.4

从 $x \cdot 1 + x (y^{4})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot (1 + y^{4})}$

解题步骤 1.2.5

将 $x$ 乘以 $1 + y^{4}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x (1 + y^{4})}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (x - 1)}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}}$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $\frac{1 + y^{4}}{y^{3}}$ 。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x^{2} (x - 1)}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

从 $x^{2} (x - 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

解题步骤 1.5.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x^{1}} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

解题步骤 1.5.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x \cdot 1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

解题步骤 1.5.1.2.3

约去公因数。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x \cdot 1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

解题步骤 1.5.1.2.4

重写表达式。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x - 1)}{1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

解题步骤 1.5.1.2.5

用 $x (x - 1)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (x (x - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x \cdot x + x \cdot - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

解题步骤 1.5.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} + x \cdot - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

解题步骤 1.5.4

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} - 1 \cdot x) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

解题步骤 1.5.5

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} - x) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

解题步骤 1.5.6

将 $x^{2} - x$ 乘以 $\frac{y^{3}}{1 + y^{4}}$ 。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \cdot \frac{(x^{2} - x) y^{3}}{1 + y^{4}}$

解题步骤 1.5.7

约去 $1 + y^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.7.1

约去公因数。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \cdot \frac{(x^{2} - x) y^{3}}{1 + y^{4}}$

解题步骤 1.5.7.2

重写表达式。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} ((x^{2} - x) y^{3})$

解题步骤 1.5.8

约去 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.8.1

从 $(x^{2} - x) y^{3}$ 中分解出因数 $y^{3}$ 。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{2} - x))$

解题步骤 1.5.8.2

约去公因数。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{2} - x))$

解题步骤 1.5.8.3

重写表达式。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} d y = (x^{2} - x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} d y = \int x^{2} - x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (1 + y^{4}) {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x^{2} - x d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (1 + y^{4}) y^{3 \cdot - 1} d y = \int x^{2} - x d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (1 + y^{4}) y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

解题步骤 2.2.2

乘以 $(1 + y^{4}) y^{- 3}$ 。

$\int 1 y^{- 3} + y^{4} y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $y^{- 3}$ 乘以 $1$ 。

$\int y^{- 3} + y^{4} y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

解题步骤 2.2.3.2

通过指数相加将 $y^{4}$ 乘以 $y^{- 3}$ 。

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解题步骤 2.2.3.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int y^{- 3} + y^{4 - 3} d y = \int x^{2} - x d x$

解题步骤 2.2.3.2.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\int y^{- 3} + y^{1} d y = \int x^{2} - x d x$

解题步骤 2.2.3.3

化简 $y^{1}$ 。

$\int y^{- 3} + y d y = \int x^{2} - x d x$

解题步骤 2.2.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y^{- 3} d y + \int y d y = \int x^{2} - x d x$

解题步骤 2.2.5

根据幂法则， $y^{- 3}$ 对 $y$ 的积分是 $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ 。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} + \int y d y = \int x^{2} - x d x$

解题步骤 2.2.6

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int x^{2} - x d x$

解题步骤 2.2.7

化简。

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解题步骤 2.2.7.1

化简。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

解题步骤 2.2.7.2

化简。

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解题步骤 2.2.7.2.1

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

解题步骤 2.2.7.2.2

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{2 y^{2}} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

解题步骤 2.2.8

重新排序项。

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - x d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - \int x d x$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K$

微积分学 示例

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