微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 7 \cos (x) \sec (y)$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\sec (y)}$ 。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} (7 \cos (x) \sec (y))$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sec (y)} \cos (x) \sec (y)$

解题步骤 1.2.2

将 $\sec (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} \cos (x) \sec (y)$

解题步骤 1.2.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (y)}$ 。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 (1 \cos (y)) \cos (x) \sec (y)$

解题步骤 1.2.4

将 $\cos (y)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 \cos (y) \cos (x) \sec (y)$

解题步骤 1.2.5

将 $\sec (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 \cos (y) \cos (x) \frac{1}{\cos (y)}$

解题步骤 1.2.6

约去 $\cos (y)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.1

从 $7 \cos (y) \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (y)$ 。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (y) (7 \cos (x)) \frac{1}{\cos (y)}$

解题步骤 1.2.6.2

约去公因数。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (y) (7 \cos (x)) \frac{1}{\cos (y)}$

解题步骤 1.2.6.3

重写表达式。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 7 \cos (x)$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\sec (y)} d y = 7 \cos (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sec (y)} d y = \int 7 \cos (x) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $\sec (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} d y = \int 7 \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (y)}$ 。

$\int 1 \cos (y) d y = \int 7 \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.1.3

将 $\cos (y)$ 乘以 $1$ 。

$\int \cos (y) d y = \int 7 \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.2

$\cos (y)$ 对 $y$ 的积分为 $\sin (y)$ 。

$\sin (y) + C_{1} = \int 7 \cos (x) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$\sin (y) + C_{1} = 7 \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$\sin (y) + C_{1} = 7 (\sin (x) + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简。

$\sin (y) + C_{1} = 7 \sin (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\sin (y) = 7 \sin (x) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $7 \sin (x) + K = \sin (y)$ 。

$7 \sin (x) + K = \sin (y)$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $K$ 。

$7 \sin (x) = \sin (y) - K$

解题步骤 3.3

将 $7 \sin (x) = \sin (y) - K$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $7 \sin (x) = \sin (y) - K$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 \sin (x)}{7} = \frac{\sin (y)}{7} + \frac{- K}{7}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 \sin (x)}{7} = \frac{\sin (y)}{7} + \frac{- K}{7}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{\sin (y)}{7} + \frac{- K}{7}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (x) = \frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7}$

解题步骤 3.4

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$x = \arcsin (\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7})$

解题步骤 3.5

将方程重写为 $\arcsin (\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7}) = x$ 。

$\arcsin (\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7}) = x$

解题步骤 3.6

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $\sin (y)$ 。

$\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7} = \sin (x)$

解题步骤 3.7

在等式两边都加上 $\frac{K}{7}$ 。

$\frac{\sin (y)}{7} = \sin (x) + \frac{K}{7}$

解题步骤 3.8

等式两边同时乘以 $7$ 。

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

解题步骤 3.9

化简方程的两边。

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解题步骤 3.9.1

化简左边。

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解题步骤 3.9.1.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.1.1.1

约去公因数。

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

解题步骤 3.9.1.1.2

重写表达式。

$\sin (y) = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

解题步骤 3.9.2

化简右边。

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解题步骤 3.9.2.1

化简 $7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$ 。

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解题步骤 3.9.2.1.1

运用分配律。

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

解题步骤 3.9.2.1.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.2.1.2.1

约去公因数。

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

解题步骤 3.9.2.1.2.2

重写表达式。

$\sin (y) = 7 \sin (x) + K$

解题步骤 3.10

将 $7 \sin (x)$ 和 $K$ 重新排序。

$\sin (y) = K + 7 \sin (x)$

解题步骤 3.11

在等式两边都加上 $\frac{K}{7}$ 。

$\frac{\sin (y)}{7} = \sin (x) + \frac{K}{7}$

解题步骤 3.12

等式两边同时乘以 $7$ 。

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

解题步骤 3.13

化简方程的两边。

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解题步骤 3.13.1

化简左边。

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解题步骤 3.13.1.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.13.1.1.1

约去公因数。

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

解题步骤 3.13.1.1.2

重写表达式。

$\sin (y) = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

解题步骤 3.13.2

化简右边。

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解题步骤 3.13.2.1

化简 $7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$ 。

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解题步骤 3.13.2.1.1

运用分配律。

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

解题步骤 3.13.2.1.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.13.2.1.2.1

约去公因数。

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

解题步骤 3.13.2.1.2.2

重写表达式。

$\sin (y) = 7 \sin (x) + K$

解题步骤 3.14

将 $7 \sin (x)$ 和 $K$ 重新排序。

$\sin (y) = K + 7 \sin (x)$

解题步骤 3.15

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$y = \arcsin (K + 7 \sin (x))$

解题步骤 3.16

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$\arcsin (\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7}) = x$

解题步骤 3.17

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $\sin (y)$ 。

$\frac{\sin (y)}{7} - \frac{K}{7} = \sin (x)$

解题步骤 3.18

在等式两边都加上 $\frac{K}{7}$ 。

$\frac{\sin (y)}{7} = \sin (x) + \frac{K}{7}$

解题步骤 3.19

等式两边同时乘以 $7$ 。

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

解题步骤 3.20

化简方程的两边。

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解题步骤 3.20.1

化简左边。

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解题步骤 3.20.1.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.20.1.1.1

约去公因数。

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

解题步骤 3.20.1.1.2

重写表达式。

$\sin (y) = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

解题步骤 3.20.2

化简右边。

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解题步骤 3.20.2.1

化简 $7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$ 。

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解题步骤 3.20.2.1.1

运用分配律。

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

解题步骤 3.20.2.1.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.20.2.1.2.1

约去公因数。

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

解题步骤 3.20.2.1.2.2

重写表达式。

$\sin (y) = 7 \sin (x) + K$

解题步骤 3.21

将 $7 \sin (x)$ 和 $K$ 重新排序。

$\sin (y) = K + 7 \sin (x)$

解题步骤 3.22

在等式两边都加上 $\frac{K}{7}$ 。

$\frac{\sin (y)}{7} = \sin (x) + \frac{K}{7}$

解题步骤 3.23

等式两边同时乘以 $7$ 。

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

解题步骤 3.24

化简方程的两边。

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解题步骤 3.24.1

化简左边。

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解题步骤 3.24.1.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.24.1.1.1

约去公因数。

$7 \frac{\sin (y)}{7} = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

解题步骤 3.24.1.1.2

重写表达式。

$\sin (y) = 7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$

解题步骤 3.24.2

化简右边。

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解题步骤 3.24.2.1

化简 $7 (\sin (x) + \frac{K}{7})$ 。

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解题步骤 3.24.2.1.1

运用分配律。

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

解题步骤 3.24.2.1.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.24.2.1.2.1

约去公因数。

$\sin (y) = 7 \sin (x) + 7 \frac{K}{7}$

解题步骤 3.24.2.1.2.2

重写表达式。

$\sin (y) = 7 \sin (x) + K$

解题步骤 3.25

将 $7 \sin (x)$ 和 $K$ 重新排序。

$\sin (y) = K + 7 \sin (x)$

解题步骤 3.26

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$y = \arcsin (K + 7 \sin (x))$

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