微积分学示例

$2 \frac{d y}{d x} = (10 + 4 \sin (t)) y$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} ((10 + 4 \sin (t)) y)$

解题步骤 1.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $(10 + 4 \sin (t)) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = 10 + 4 \sin (t)$

解题步骤 1.3

去掉多余的括号。

$\frac{1}{y} \cdot 2 \frac{d y}{d x} = 10 + 4 \sin (t)$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y} \cdot 2 d y = (10 + 4 \sin (t)) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} \cdot 2 d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{1}{y}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{2}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

解题步骤 2.2.2

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

解题步骤 2.2.3

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

解题步骤 2.2.4

化简。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

应用常数不变法则。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = (10 + 4 \sin (t)) x + C_{2}$

解题步骤 2.3.2

重新排序项。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x (10 + 4 \sin (t)) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $\ln (| y |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

约去 $10 + 4 \sin (t)$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.1.1.1

从 $x (10 + 4 \sin (t))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.3.1.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 (1)} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 \cdot 1} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\ln (| y |) = \frac{x (5 + 2 \sin (t))}{1} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.1.2.4

用 $x (5 + 2 \sin (t))$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) = x (5 + 2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.2

运用分配律。

$\ln (| y |) = x \cdot 5 + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.3

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (| y |) = 5 \cdot x + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.2

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

解题步骤 3.3

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}} = | y |$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$ 。

$| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

解题步骤 3.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$ 重写为 $e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$

解题步骤 4.3

将 $e^{5 x + 2 x \sin (t)}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{5 x + 2 x \sin (t)}$

解题步骤 4.4

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{5 x + 2 x \sin (t)}$

微积分学 示例

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