微积分学示例

$\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = \sin (3 x)$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (3 x)]$

解题步骤 1.2

因为 $\sin (3 x)$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\sin (3 x)$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 2 y \cos^{3} (3 x)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y \cos^{3} (3 x)]$

解题步骤 2.2

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y \cos^{3} (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \cos (3 x)$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (3 x)$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

解题步骤 2.3.3

使用 $\cos (3 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 \cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 2.5.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 2.5.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 2.6

求微分。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 2.6.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.6.3

将 $3$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \cdot 1$

解题步骤 2.6.5

将 $- 18$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $0$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $2 y \cos^{3} (3 x)$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $2 y \cos^{3} (3 x)$ 替换 $N$ 。

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

解题步骤 4.3.2

约去 $0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

重新排序项。

$\frac{- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

解题步骤 4.3.2.2

从 $- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

解题步骤 4.3.2.3

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 \cdot 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

解题步骤 4.3.2.4

从 $2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 (0)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

解题步骤 4.3.2.5

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.5.1

从 $2 y \cos^{3} (3 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

解题步骤 4.3.2.5.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

解题步骤 4.3.2.5.3

重写表达式。

$\frac{- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

解题步骤 4.3.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $- 9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

解题步骤 4.3.3.2

将 $9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

解题步骤 4.3.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

解题步骤 4.3.4.2

重写表达式。

$\frac{9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)}$

解题步骤 4.3.5

约去 $\cos^{2} (3 x)$ 和 $\cos^{3} (3 x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

从 $9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ 中分解出因数 $\cos^{2} (3 x)$ 。

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{3} (3 x)}$

解题步骤 4.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.5.2.1

从 $\cos^{3} (3 x)$ 中分解出因数 $\cos^{2} (3 x)$ 。

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

解题步骤 4.3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

解题步骤 4.3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{9 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

解题步骤 4.3.6

分离分数。

$\frac{9}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

解题步骤 4.3.7

将 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 转换成 $\tan (3 x)$ 。

$\frac{9}{1} \tan (3 x)$

解题步骤 4.3.8

用 $9$ 除以 $1$ 。

$9 \tan (3 x)$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (3 x) d x}$

解题步骤 5.2

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.2.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 5.2.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 5.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (u) \frac{1}{3} d u}$

解题步骤 5.3

组合 $\tan (u)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$μ (x, y) = e^{9 \int \frac{\tan (u)}{3} d u}$

解题步骤 5.4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{9 (\frac{1}{3} \int \tan (u) d u)}$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $9$ 。

$μ (x, y) = e^{\frac{9}{3} \int \tan (u) d u}$

解题步骤 5.5.2

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3} \int \tan (u) d u}$

解题步骤 5.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \tan (u) d u}$

解题步骤 5.5.2.2.2

约去公因数。

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \tan (u) d u}$

解题步骤 5.5.2.2.3

重写表达式。

$μ (x, y) = e^{\frac{3}{1} \int \tan (u) d u}$

解题步骤 5.5.2.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$μ (x, y) = e^{3 \int \tan (u) d u}$

解题步骤 5.6

$\tan (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| \sec (u) |)$ 。

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| \sec (u) |) + C)}$

解题步骤 5.7

化简。

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (u) |)} + C$

解题步骤 5.8

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (3 x) |)} + C$

解题步骤 5.9

化简每一项。

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解题步骤 5.9.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (| \sec (3 x) |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (3 x) |}^{3})} + C$

解题步骤 5.9.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| \sec (3 x) |}^{3} + C$

解题步骤 6

在 $\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\sec^{3} (3 x)$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\sin (3 x)$ 乘以 $\sec^{3} (3 x)$ 。

$\sin (3 x) \sec^{3} (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $\sec (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

解题步骤 6.3

对 $\frac{1}{\cos (3 x)}$ 运用乘积法则。

$\sin (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

解题步骤 6.4

一的任意次幂都为一。

$\sin (3 x) \frac{1}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

解题步骤 6.5

组合 $\sin (3 x)$ 和 $\frac{1}{\cos^{3} (3 x)}$ 。

$\frac{\sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

解题步骤 6.6

从 $\cos^{3} (3 x)$ 中分解出因数 $\cos (3 x)$ 。

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos^{2} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

解题步骤 6.7

分离分数。

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

解题步骤 6.8

将 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 转换成 $\tan (3 x)$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

解题步骤 6.9

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

解题步骤 6.10

将 $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2}$ 。

${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

解题步骤 6.11

将 $\frac{1}{\cos (3 x)}$ 转换成 $\sec (3 x)$ 。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

解题步骤 6.12

将 $2 y \cos^{3} (3 x)$ 乘以 $\sec^{3} (3 x)$ 。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \sec^{3} (3 x) d y = 0$

解题步骤 6.13

将 $\sec (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d y = 0$

解题步骤 6.14

对 $\frac{1}{\cos (3 x)}$ 运用乘积法则。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

解题步骤 6.15

约去 $\cos^{3} (3 x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.15.1

从 $2 y \cos^{3} (3 x)$ 中分解出因数 $\cos^{3} (3 x)$ 。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

解题步骤 6.15.2

约去公因数。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

解题步骤 6.15.3

重写表达式。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1^{3} d y = 0$

解题步骤 6.16

一的任意次幂都为一。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1 d y = 0$

解题步骤 6.17

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 2 y d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = 2 y$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$f (x, y) = 2 \int y d y$

解题步骤 8.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

解题步骤 8.3

化简答案。

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解题步骤 8.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ 。

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2

化简。

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解题步骤 8.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.2.1

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.2.2

重写表达式。

$f (x, y) = 1 y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.3

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = y^{2} + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = y^{2} + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [y^{2} + g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $y^{2} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

解题步骤 11.3

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$0 + \frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

解题步骤 11.5

将 $0$ 和 $\frac{d g}{d x}$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

解题步骤 12

求 $\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 12.1

对 $\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

解题步骤 12.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

解题步骤 12.3

使 $u_{2} = \sec (3 x)$ 。然后使 $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 12.3.1

设 $u_{2} = \sec (3 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 12.3.1.1

对 $\sec (3 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

解题步骤 12.3.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 12.3.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 12.3.1.2.2

$\sec (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ 。

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 12.3.1.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 12.3.1.3

求微分。

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解题步骤 12.3.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 12.3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

解题步骤 12.3.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 12.3.1.3.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

解题步骤 12.3.1.3.3.2

将 $3$ 移到 $\sec (3 x) \tan (3 x)$ 的左侧。

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

解题步骤 12.3.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$g (x) = \int u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

解题步骤 12.4

组合 $u_{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$g (x) = \int \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

解题步骤 12.5

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$g (x) = \frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 12.6

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$g (x) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

解题步骤 12.7

将 $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ 重写为 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ 。

$g (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 12.8

化简。

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解题步骤 12.8.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$g (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 12.8.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$g (x) = \frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 12.9

使用 $\sec (3 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$g (x) = \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

解题步骤 13

在 $f (x, y) = y^{2} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = y^{2} + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

解题步骤 14

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $\sec^{2} (3 x)$ 。

$f (x, y) = y^{2} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$

微积分学 示例

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