微积分学示例

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $(1 + x^{2}) y$ 项的导数的结果。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 1 + x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 1.3

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

解题步骤 1.6

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

解题步骤 1.7

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

解题步骤 1.8

将 $1$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

解题步骤 1.9

去掉圆括号。

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

解题步骤 1.10

移动 $y$ 。

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = x$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int x d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$(1 + x^{2}) y = \int x d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 6

将 $(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 中的每一项除以 $1 + x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 中的每一项都除以 $1 + x^{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $1 + x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.3

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.3.2

要将 $\frac{C}{1 + x^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 6.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 (1 + x^{2})$ 的形式。

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解题步骤 6.3.3.1

将 $\frac{C}{1 + x^{2}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{(1 + x^{2}) \cdot 2}$

解题步骤 6.3.3.2

重新排序 $(1 + x^{2}) \cdot 2$ 的因式。

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

解题步骤 6.3.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x^{2} + C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

解题步骤 6.3.5

将 $2$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{x^{2} + 2 C}{2 (1 + x^{2})}$

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