微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x \sqrt{1 - 9 y^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} (\frac{2}{3} x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

解题步骤 1.2.2

合并。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{3 \sqrt{1 - 9 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

解题步骤 1.2.3

约去 $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

从 $3 \sqrt{1 - 9 y^{2}}$ 中分解出因数 $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

解题步骤 1.2.3.2

从 $x \sqrt{1 - 9 y^{2}}$ 中分解出因数 $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (\sqrt{1 - 9 y^{2}} x)$

解题步骤 1.2.3.3

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (\sqrt{1 - 9 y^{2}} x)$

解题步骤 1.2.3.4

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{3} x$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x$

解题步骤 1.2.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} d y = \frac{2 x}{3} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使用指数书写表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 y^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 $9 y^{2}$ 重写为 ${(3 y)}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 y)}^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

解题步骤 2.2.2

使 $u = 3 y$ 。然后使 $d u = 3 d y$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u = 3 y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $3 y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [3 y]$

解题步骤 2.2.2.1.2

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 y$ 对 $y$ 的导数是 $3 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$3 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{2 x}{3} d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{2 x}{3} d x$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ 对 $u$ 的积分为 $\arcsin (u)$

$\frac{1}{3} (\arcsin (u) + C_{1}) = \int \frac{2 x}{3} d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$\frac{1}{3} \arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

解题步骤 2.2.6

使用 $3 y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$ 中的每一项乘以 $3$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$ 中的每一项乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\arcsin (3 y)$ 。

$\frac{\arcsin (3 y)}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

解题步骤 3.1.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\arcsin (3 y)}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

解题步骤 3.1.2.2.2

重写表达式。

$\arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\arcsin (3 y) = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3 + K \cdot 3$

解题步骤 3.1.3.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.1.2.1

约去公因数。

$\arcsin (3 y) = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3 + K \cdot 3$

解题步骤 3.1.3.1.2.2

重写表达式。

$\arcsin (3 y) = x^{2} + K \cdot 3$

解题步骤 3.1.3.1.3

将 $3$ 移到 $K$ 的左侧。

$\arcsin (3 y) = x^{2} + 3 K$

解题步骤 3.2

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $y$ 。

$3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$

解题步骤 3.3

将 $3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sin (x^{2} + K)}{3}$

微积分学 示例

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