微积分学示例

$y d x + (x - x y + 2) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = y$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x - x y + 2$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - x y + 2]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x - x y + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $x$ 的导数是 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + 0$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $1 - y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y$

解题步骤 2.5.2

重新排序项。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 1$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- y + 1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$1 = - y + 1$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$1 = - y + 1$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $- y + 1$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- y + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 4.2

代入 $1$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- y + 1 - 1}{M}$

解题步骤 4.3

代入 $y$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $y$ 替换 $M$ 。

$\frac{- y + 1 - 1}{y}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- y + 0}{y}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- y}{y}$

解题步骤 4.3.3

代入 $y$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$\frac{- y}{y}$

解题步骤 4.3.3.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - 1 d y}$ 。

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解题步骤 5.1

应用常数不变法则。

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

解题步骤 5.2

化简。

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

解题步骤 6

在 $y d x + (x - x y + 2) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $e^{- y}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $y$ 乘以 $e^{- y}$ 。

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $x - x y + 2$ 乘以 $e^{- y}$ 。

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) e^{- y} d y = 0$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$y e^{- y} d x + (x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}) d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int y e^{- y} d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = y e^{- y}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = y e^{- y} x + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x + g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $y e^{- y} x + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d y} [y e^{- y} x]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y e^{- y} x$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y e^{- y}]$ 。

$x \frac{d}{d y} [y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = e^{- y}$ 。

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- y}] + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = - y$ 。

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解题步骤 11.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- y$ 。

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11.3.3.3

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (y (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11.3.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$x (y (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11.3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x (y (e^{- y} \cdot - 1) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11.3.8

将 $- 1$ 移到 $e^{- y}$ 的左侧。

$x (y (- 1 \cdot e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11.3.9

将 $- 1 e^{- y}$ 重写为 $- e^{- y}$ 。

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11.3.10

将 $e^{- y}$ 乘以 $1$ 。

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

运用分配律。

$x (y (- e^{- y})) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11.5.2

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 11.5.3

将 $\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d y} - x y e^{- y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

在等式两边都加上 $x y e^{- y}$ 。

$\frac{d g}{d y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y}$

解题步骤 12.1.2

从等式两边同时减去 $x e^{- y}$ 。

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$

解题步骤 12.1.3

合并 $x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.3.1

将 $- x y e^{- y}$ 和 $x y e^{- y}$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} + 0 - x e^{- y}$

解题步骤 12.1.3.2

将 $x e^{- y} + 2 e^{- y}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} - x e^{- y}$

解题步骤 12.1.3.3

从 $x e^{- y}$ 中减去 $x e^{- y}$ 。

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y} + 0$

解题步骤 12.1.3.4

将 $2 e^{- y}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$

解题步骤 13

求 $2 e^{- y}$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 e^{- y} d y$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int 2 e^{- y} d y$

解题步骤 13.3

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$g (y) = 2 \int e^{- y} d y$

解题步骤 13.4

使 $u = - y$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 13.4.1

设 $u = - y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 13.4.1.1

对 $- y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 13.4.1.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 13.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 13.4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 13.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$g (y) = 2 \int - e^{u} d u$

解题步骤 13.5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$g (y) = 2 (- \int e^{u} d u)$

解题步骤 13.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$g (y) = - 2 \int e^{u} d u$

解题步骤 13.7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$g (y) = - 2 (e^{u} + C)$

解题步骤 13.8

化简。

$g (y) = - 2 e^{u} + C$

解题步骤 13.9

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g (y) = - 2 e^{- y} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$

解题步骤 15

将 $f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = y x e^{- y} - 2 e^{- y} + C$

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