微积分学示例

$z + u (\frac{d z}{d u}) = \frac{z}{1 - z}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d z}{d u}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $z$ 。

$u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$

解题步骤 1.1.2

将 $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ 中的每一项除以 $u$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ 中的每一项都除以 $u$ 。

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d z}{d u}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.2

要将 $- z$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - z}{1 - z}$ 。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z \cdot \frac{1 - z}{1 - z}}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.3

化简项。

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解题步骤 1.1.2.3.3.1

组合 $- z$ 和 $\frac{1 - z}{1 - z}$ 。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} + \frac{- z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.4

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.3.4.1

从 $z - z (1 - z)$ 中分解出因数 $z$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.4.1.1

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.4.1.2

从 $z^{1}$ 中分解出因数 $z$ 。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.4.1.3

从 $- z (1 - z)$ 中分解出因数 $z$ 。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 + z (- (1 - z))}{1 - z}}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.4.1.4

从 $z \cdot 1 + z (- (1 - z))$ 中分解出因数 $z$ 。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - (1 - z))}{1 - z}}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.4.2

运用分配律。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 \cdot 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.4.4

乘以 $- - z$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + 1 z)}{1 - z}}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.4.4.2

将 $z$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + z)}{1 - z}}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.4.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (0 + z)}{1 - z}}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.4.6

将 $0$ 和 $z$ 相加。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot z}{1 - z}}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.3.5.1

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z}{1 - z}}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.5.2

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z^{1}}{1 - z}}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1 + 1}}{1 - z}}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{2}}{1 - z}}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

解题步骤 1.1.2.3.7

将 $\frac{z^{2}}{1 - z}$ 乘以 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

解题步骤 1.1.2.3.8

将 $\frac{z^{2}}{(1 - z) u}$ 中的因式重新排序。

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{u (1 - z)}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1 - z}{z^{2}}$ 。

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} (\frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{z^{2}}{1 - z}$ 乘以 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

解题步骤 1.4.2

约去 $1 - z$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $(1 - z) u$ 中分解出因数 $1 - z$ 。

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) (u)}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

解题步骤 1.4.3

约去 $z^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.1

约去公因数。

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

解题步骤 1.4.3.2

重写表达式。

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{u}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1 - z}{z^{2}} d z = \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1 - z}{z^{2}} d z = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $z^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (1 - z) {(z^{2})}^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(z^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (1 - z) z^{2 \cdot - 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (1 - z) z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.2.2

乘以 $(1 - z) z^{- 2}$ 。

$\int 1 z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $z^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$\int z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.2.3.2

通过指数相加将 $z$ 乘以 $z^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.2.1

移动 $z^{- 2}$ 。

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z) d z = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.2.3.2.2

将 $z^{- 2}$ 乘以 $z$ 。

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解题步骤 2.2.3.2.2.1

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z^{1}) d z = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.2.3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int z^{- 2} - z^{- 2 + 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.2.3.2.3

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$\int z^{- 2} - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.2.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int z^{- 2} d z + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.2.5

根据幂法则， $z^{- 2}$ 对 $z$ 的积分是 $- z^{- 1}$ 。

$- z^{- 1} + C_{1} + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.2.6

由于 $- 1$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- z^{- 1} + C_{1} - \int z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.2.7

$z^{- 1}$ 对 $z$ 的积分为 $\ln (| z |)$ 。

$- z^{- 1} + C_{1} - (\ln (| z |) + C_{2}) = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.2.8

化简。

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \ln (| u |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) = \ln (| u |) + C$

微积分学 示例

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