微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

拆分 $\frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

分解分数 $\frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$ 成为两个分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{3}}{77 x y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

解题步骤 1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

从 $- 20 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{77 x y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.2.1

从 $77 x y^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{x (77 y^{2})} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{x (77 y^{2})} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

约去 $77$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{3}}{x y^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

约去 $y^{3}$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.4.1

从 $y^{3}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{x y^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.4.2.1

从 $x y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{y^{2} x}$

解题步骤 1.1.2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{y^{2} x}$

解题步骤 1.1.2.4.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y}{x}$

解题步骤 1.2

将微分方程重写为 $f (\frac{y}{x})$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $\frac{20 x^{2}}{77 y^{2}}$ 中因式分解出 $\frac{x}{y}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $\frac{20 x^{2}}{77 y^{2}}$ 中分解出因数 $\frac{x}{y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{y} \cdot \frac{20 x}{77 y}) + \frac{y}{x}$

解题步骤 1.2.1.2

将 $\frac{x}{y}$ 和 $\frac{20 x}{77 y}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20 x}{77 y} \cdot \frac{x}{y}) + \frac{y}{x}$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{x}{y}$ 重写为 ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20 x}{77 y} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

解题步骤 1.3

将微分方程重写为 $f (\frac{y}{x})$ 。

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解题步骤 1.3.1

从 $\frac{20 x}{77 y}$ 中因式分解出 $\frac{x}{y}$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

从 $\frac{20 x}{77 y}$ 中分解出因数 $\frac{x}{y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{y} \cdot \frac{20}{77} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

解题步骤 1.3.1.2

将 $\frac{x}{y}$ 和 $\frac{20}{77}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} \cdot \frac{x}{y} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{x}{y}$ 重写为 ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} {(\frac{y}{x})}^{- 1} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} V^{- 1} V^{- 1}) + V$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} V^{- 1} V^{- 1}) + V$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.1.1

通过指数相加将 $V^{- 1}$ 乘以 $V^{- 1}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot V^{- 1 - 1}) + V$

解题步骤 6.1.1.1.1.2

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot V^{- 2}) + V$

解题步骤 6.1.1.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot \frac{1}{V^{2}}) + V$

解题步骤 6.1.1.1.3

合并。

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{20 \cdot 1}{77 V^{2}} + V$

解题步骤 6.1.1.1.4

将 $20$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{20}{77 V^{2}} + V$

解题步骤 6.1.1.2

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.2.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} + V - V$

解题步骤 6.1.1.2.2

合并 $- \frac{20}{77 V^{2}} + V - V$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} + 0$

解题步骤 6.1.1.2.2.2

将 $- \frac{20}{77 V^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$

解题步骤 6.1.1.3

将 $x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.3.1

将 $x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{20}{77 V^{2}}$ 。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{x (77 V^{2})}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3

将 $77$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x V^{2}}$

解题步骤 6.1.2

重新组合因数。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}}$

解题步骤 6.1.3

两边同时乘以 $V^{2}$ 。

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} (- \frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

解题步骤 6.1.4

化简。

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解题步骤 6.1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} (\frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

解题步骤 6.1.4.2

合并。

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} \frac{20 \cdot 1}{77 x V^{2}}$

解题步骤 6.1.4.3

约去 $V^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.3.1

从 $- V^{2}$ 中分解出因数 $V^{2}$ 。

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{77 x V^{2}}$

解题步骤 6.1.4.3.2

从 $77 x V^{2}$ 中分解出因数 $V^{2}$ 。

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{V^{2} (77 x)}$

解题步骤 6.1.4.3.3

约去公因数。

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{V^{2} (77 x)}$

解题步骤 6.1.4.3.4

重写表达式。

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{20 \cdot 1}{77 x}$

解题步骤 6.1.4.4

将 $20$ 乘以 $1$ 。

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x}$

解题步骤 6.1.5

重写该方程。

$V^{2} d V = - \frac{20}{77 x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int V^{2} d V = \int - \frac{20}{77 x} d x$

解题步骤 6.2.2

根据幂法则， $V^{2}$ 对 $V$ 的积分是 $\frac{1}{3} V^{3}$ 。

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = \int - \frac{20}{77 x} d x$

解题步骤 6.2.3

对右边积分。

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解题步骤 6.2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \int \frac{20}{77 x} d x$

解题步骤 6.2.3.2

由于 $\frac{20}{77}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{20}{77}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - (\frac{20}{77} \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 6.2.3.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \frac{20}{77} (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 6.2.3.4

化简。

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \frac{20}{77} \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{3} V^{3} = - \frac{20}{77} \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} V^{3}) = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} V^{3})$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $V^{3}$ 。

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$V^{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简 $3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1.1

组合 $\ln (| x |)$ 和 $\frac{20}{77}$ 。

$V^{3} = 3 (- \frac{\ln (| x |) \cdot 20}{77} + C)$

解题步骤 6.3.2.2.1.1.2

将 $20$ 移到 $\ln (| x |)$ 的左侧。

$V^{3} = 3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77} + C)$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

运用分配律。

$V^{3} = 3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77}) + 3 C$

解题步骤 6.3.2.2.1.3

乘以 $3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77})$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$V^{3} = - 3 \frac{20 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

解题步骤 6.3.2.2.1.3.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{20 \ln (| x |)}{77}$ 。

$V^{3} = \frac{- 3 (20 \ln (| x |))}{77} + 3 C$

解题步骤 6.3.2.2.1.3.3

将 $20$ 乘以 $- 3$ 。

$V^{3} = \frac{- 60 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

解题步骤 6.3.2.2.1.4

将负号移到分数的前面。

$V^{3} = - \frac{60 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

解题步骤 6.3.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $60 \ln (| x |)$ 。

$V^{3} = - \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C$

解题步骤 6.3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$V = \sqrt[3]{- \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C}$

解题步骤 6.3.5

化简 $\sqrt[3]{- \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C}$ 。

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解题步骤 6.3.5.1

将 $\frac{\ln ({| x |}^{60})}{77}$ 重写为 $\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})$ 。

$V = \sqrt[3]{- (\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})) + 3 C}$

解题步骤 6.3.5.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})$ 。

$V = \sqrt[3]{- \ln ({({| x |}^{60})}^{\frac{1}{77}}) + 3 C}$

解题步骤 6.3.5.3

将 ${({| x |}^{60})}^{\frac{1}{77}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{60 (\frac{1}{77})}) + 3 C}$

解题步骤 6.3.5.3.2

组合 $60$ 和 $\frac{1}{77}$ 。

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + 3 C}$

解题步骤 6.4

化简积分常数。

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$ 。

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解题步骤 8.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$

解题步骤 8.2.1.2

重写表达式。

$y = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$

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