微积分学示例

$2 y - 3 x + 3 + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将方程重写为 $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

在等式两边都加上 $3 x$ 。

$2 y + 3 + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 3 x$

解题步骤 1.1.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$2 y + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 3 x - 3$

解题步骤 1.1.3

重新排序项。

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x - 3$

解题步骤 1.2

将 $(x + 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x - 3$ 中的每一项都除以 $x + 1$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 1.3

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 1.3.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 1.4

从 $\frac{2 y}{x + 1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 1.5

将 $y$ 和 $\frac{2}{x + 1}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x + 1} y = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{2}{x + 1}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{2}{x + 1} d x}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{2}{x + 1}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

解题步骤 2.2.2

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2.2.2.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.2.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 2.2.3

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

解题步骤 2.2.4

化简。

$e^{2 \ln (| u |) + C}$

解题步骤 2.2.5

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{2 \ln (| x + 1 |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{2 \ln (x + 1)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln ({(x + 1)}^{2})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

${(x + 1)}^{2}$

解题步骤 2.6

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$(x + 1) (x + 1)$

解题步骤 2.7

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 2.7.1

运用分配律。

$x (x + 1) + 1 (x + 1)$

解题步骤 2.7.2

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

解题步骤 2.7.3

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.8.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.8.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.8.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + x + x + 1$

解题步骤 2.8.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$x^{2} + 2 x + 1$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $x^{2} + 2 x + 1$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $x^{2} + 2 x + 1$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{d y}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{2}{x + 1}$ 和 $y$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.2.4

将 $x^{2} + 2 x + 1$ 乘以 $\frac{2 y}{x + 1}$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (2 y)}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.2.5

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 3.2.5.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 x + 1^{2}) \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.2.5.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 3.2.5.3

重写多项式。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.2.5.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.2.6

约去 ${(x + 1)}^{2}$ 和 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.6.1

从 ${(x + 1)}^{2} \cdot 2 y$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.6.2.1

乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{(x + 1) \cdot 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.2.6.2.2

约去公因数。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{(x + 1) \cdot 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.2.6.2.3

重写表达式。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) \cdot 2 y}{1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.2.6.2.4

用 $(x + 1) \cdot 2 y$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x + 1) \cdot 2 y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.2.7

运用分配律。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x \cdot 2 + 1 \cdot 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.2.8

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x + 1 \cdot 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.2.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x + 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.2.10

运用分配律。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1

将 $x^{2} + 2 x + 1$ 乘以 $\frac{3 x}{x + 1}$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (3 x)}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 x + 1^{2}) \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 3.3.2.3

重写多项式。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.3

约去 ${(x + 1)}^{2}$ 和 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1

从 ${(x + 1)}^{2} \cdot 3 x$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1

乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{(x + 1) \cdot 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.3.2.2

约去公因数。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{(x + 1) \cdot 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.3.2.3

重写表达式。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) \cdot 3 x}{1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.3.2.4

用 $(x + 1) \cdot 3 x$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x + 1) \cdot 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.4

运用分配律。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x \cdot 3 + 1 \cdot 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.5

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (3 \cdot x + 1 \cdot 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (3 \cdot x + 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.7

运用分配律。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x \cdot x + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.8.1

移动 $x$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 (x \cdot x) + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.8.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.9

将负号移到分数的前面。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) (- \frac{3}{x + 1})$

解题步骤 3.3.10

运用分配律。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + x^{2} (- \frac{3}{x + 1}) + 2 x (- \frac{3}{x + 1}) + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

解题步骤 3.3.11

化简。

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解题步骤 3.3.11.1

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + 2 x (- \frac{3}{x + 1}) + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

解题步骤 3.3.11.2

乘以 $2 x (- \frac{3}{x + 1})$ 。

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解题步骤 3.3.11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} - 2 x \frac{3}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

解题步骤 3.3.11.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{x + 1}$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + x \frac{- 2 \cdot 3}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

解题步骤 3.3.11.2.3

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + x \frac{- 6}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

解题步骤 3.3.11.2.4

组合 $x$ 和 $\frac{- 6}{x + 1}$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

解题步骤 3.3.11.3

将 $- \frac{3}{x + 1}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.12

化简每一项。

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解题步骤 3.3.12.1

组合 $\frac{3}{x + 1}$ 和 $x^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.12.2

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + \frac{- 6 \cdot x}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.12.3

将负号移到分数的前面。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} - \frac{6 x}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.13

在公分母上合并分子。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 x^{2} - 6 x - 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14

化简分子。

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解题步骤 3.3.14.1

从 $- 3 x^{2} - 6 x - 3$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.3.14.1.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) - 6 x - 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.1.2

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x) - 3}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.1.3

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (- 1)}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.1.4

从 $3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 x) + 3 (- 1)}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.1.5

从 $3 (- x^{2} - 2 x) + 3 (- 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 x - 1)}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.2

分组因式分解。

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解题步骤 3.3.14.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ 并且它们的和为 $b = - 2$ 。

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解题步骤 3.3.14.2.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 (x) - 1)}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.2.1.2

把 $- 2$ 重写为 $- 1$ 加 $- 1$

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} + (- 1 - 1) x - 1)}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.2.1.3

运用分配律。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 1 x - 1 x - 1)}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.3.14.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 ((- x^{2} - 1 x) - 1 x - 1)}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (x (- x - 1) + 1 (- x - 1))}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 1$ 来因式分解多项式。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 ((- x - 1) (x + 1))}{x + 1}$

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.3

合并指数。

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解题步骤 3.3.14.3.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x) - 1) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.3.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x) - 1 (1)) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.3.3

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x + 1)) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.3.4

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.3.5

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 ({(x + 1)}^{1} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.3.6

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1})}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 {(x + 1)}^{1 + 1}}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

解题步骤 3.3.14.3.9

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

解题步骤 3.3.15

约去 ${(x + 1)}^{2}$ 和 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.15.1

从 $- 3 {(x + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 3.3.15.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.15.2.1

乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

解题步骤 3.3.15.2.2

约去公因数。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

解题步骤 3.3.15.2.3

重写表达式。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 (x + 1)}{1}$

解题步骤 3.3.15.2.4

用 $- 3 (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 (x + 1)$

解题步骤 3.3.16

运用分配律。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3 \cdot 1$

解题步骤 3.3.17

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3$

解题步骤 3.4

合并 $3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 3.4.1

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 0 - 3$

解题步骤 3.4.2

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} - 3$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] = 3 x^{2} - 3$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] d x = \int 3 x^{2} - 3 d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$(x^{2} + 2 x + 1) y = \int 3 x^{2} - 3 d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

将单个积分拆分为多个积分。

$(x^{2} + 2 x + 1) y = \int 3 x^{2} d x + \int - 3 d x$

解题步骤 7.2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 \int x^{2} d x + \int - 3 d x$

解题步骤 7.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 3 d x$

解题步骤 7.4

应用常数不变法则。

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 3 x + C$

解题步骤 7.5

化简。

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解题步骤 7.5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 3 x + C$

解题步骤 7.5.2

化简。

$(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$

解题步骤 8

将 $(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$ 中的每一项除以 $x^{2} + 2 x + 1$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$ 中的每一项都除以 $x^{2} + 2 x + 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 2 x + 1) y}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $x^{2} + 2 x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} + 2 x + 1) y}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 8.3.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

解题步骤 8.3.1.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 8.3.1.1.3

重写多项式。

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

解题步骤 8.3.1.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

解题步骤 8.3.1.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 8.3.1.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

解题步骤 8.3.1.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 8.3.1.2.3

重写多项式。

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

解题步骤 8.3.1.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

解题步骤 8.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

解题步骤 8.3.1.4

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 8.3.1.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

解题步骤 8.3.1.4.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 8.3.1.4.3

重写多项式。

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

解题步骤 8.3.1.4.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{{(x + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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