微积分学示例

$(1 + x y) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 1 + x y$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + x y]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $1 + x y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$

解题步骤 1.2.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [x y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x y$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

解题步骤 1.4

将 $0$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = - (1 + x^{2})$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (1 + x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- 2 x$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$x = - 2 x$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$x = - 2 x$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $x$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $- 2 x$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{x - (- 2 x)}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $- (1 + x^{2})$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $- (1 + x^{2})$ 替换 $N$ 。

$\frac{x - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $x - (- 2 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

解题步骤 4.3.2.1.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 1 - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

解题步骤 4.3.2.1.3

从 $- (- 2 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 1 + x (- (- 2))}{- (1 + x^{2})}$

解题步骤 4.3.2.1.4

从 $x \cdot 1 + x (- (- 2))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (1 - (- 2))}{- (1 + x^{2})}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x (1 + 2)}{- (1 + x^{2})}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x \cdot 3}{- (1 + x^{2})}$

解题步骤 4.3.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot x}{- (1 + x^{2})}$

解题步骤 4.3.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 x}{1 + x^{2}}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$

解题步骤 5.2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)}$

解题步骤 5.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x}$

解题步骤 5.4

使 $u = 1 + x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.4.1

设 $u = 1 + x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

对 $1 + x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 5.4.1.2

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 5.4.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 5.4.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 x$

解题步骤 5.4.1.5

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$2 x$

解题步骤 5.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

解题步骤 5.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

解题步骤 5.7

化简。

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解题步骤 5.7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 3$ 。

$μ (x, y) = e^{\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.7.2

将负号移到分数的前面。

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

解题步骤 5.9

化简。

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| u |)} + C$

解题步骤 5.10

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)} + C$

解题步骤 5.11

化简每一项。

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解题步骤 5.11.1

乘以 $- \frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ 。

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解题步骤 5.11.1.1

将 $\ln (| 1 + x^{2} |)$ 和 $\frac{3}{2}$ 重新排序。

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |))} + C$

解题步骤 5.11.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})} + C$

解题步骤 5.11.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

解题步骤 5.11.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

解题步骤 5.11.4

将 ${({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.11.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

解题步骤 5.11.4.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.11.4.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

解题步骤 5.11.4.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

解题步骤 5.11.4.3

将负号移到分数的前面。

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{- \frac{3}{2}} + C$

解题步骤 5.11.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 6

在 $(1 + x y) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $1 + x y$ 乘以 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$(1 + x y) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $1 + x y$ 乘以 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $- (1 + x^{2})$ 乘以 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + (- 1 \cdot 1 - x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

解题步骤 6.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + (- 1 - x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

解题步骤 6.6

将 $- 1 - x^{2}$ 乘以 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

解题步骤 6.7

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

解题步骤 6.8

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - (x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

解题步骤 6.9

从 $- 1 (1) - (x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

解题步骤 6.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} y + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $y$ 和 $\frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 8.2.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(1 + x^{2})}^{1}$ 移动到分母。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{2})}^{- 1}} + C$

解题步骤 8.2.3

通过指数相加将 ${(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 乘以 ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ 。

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解题步骤 8.2.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1}} + C$

解题步骤 8.2.3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} + C$

解题步骤 8.2.3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} + C$

解题步骤 8.2.3.4

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} + C$

解题步骤 8.2.3.5

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}}} + C$

解题步骤 8.2.3.5.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.2

将 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$- y \frac{d}{d x} [{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 11.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- y (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.3.3

使用 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 11.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 + x^{2}$ 。

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.4.3

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.5

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.8

将 ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.3.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.8.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.8.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.8.2.2

约去公因数。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.8.2.3

重写表达式。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.9

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.10

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.11

在公分母上合并分子。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.12

化简分子。

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解题步骤 11.3.12.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.12.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.13

将负号移到分数的前面。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.14

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.16

组合 $2$ 和 $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.17

组合 $\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.19

约去公因数。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.20

重写表达式。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.21

组合 $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ 。

$- y (- \frac{x {(1 + x^{2})}^{- 1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.22

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ 移动到分母。

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.23

通过指数相加将 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 11.3.23.1

将 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 11.3.23.1.1

对 $1 + x^{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.23.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.23.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.23.3

在公分母上合并分子。

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.23.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.24

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.25

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.3.26

组合 $y$ 和 $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$\frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 12.1.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - (1 + x y)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - 1 \cdot 1 - (x y)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - 1 - x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4

合并 $y x - 1 - x y$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.1.4.1

按照 $y x$ 和 $- x y$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x y - 1 - x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.2

从 $x y$ 中减去 $x y$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 12.1.2

在等式两边都加上 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13

求 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 13.3

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}}} d x$

解题步骤 13.4

使 $x = \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec^{2} (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 为正数。

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 13.5

化简 $\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}$ 。

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解题步骤 13.5.1

使用勾股恒等式。

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 13.5.2

将 ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 13.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 13.5.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 13.5.3

将 $\sec^{6} (t)$ 重写为 ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ 。

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 13.5.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 13.6

约去 $\sec^{2} (t)$ 的公因数。

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解题步骤 13.6.1

从 $\sec^{3} (t)$ 中分解出因数 $\sec^{2} (t)$ 。

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 13.6.2

约去公因数。

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 13.6.3

重写表达式。

$g (x) = \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

解题步骤 13.7

化简。

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解题步骤 13.7.1

将 $\sec (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$g (x) = \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

解题步骤 13.7.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (t)}$ 。

$g (x) = \int 1 \cos (t) d t$

解题步骤 13.7.3

将 $\cos (t)$ 乘以 $1$ 。

$g (x) = \int \cos (t) d t$

解题步骤 13.8

$\cos (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\sin (t)$ 。

$g (x) = \sin (t) + C$

解题步骤 13.9

使用 $\arctan (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$g (x) = \sin (\arctan (x)) + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \sin (\arctan (x)) + C$

解题步骤 15

化简 $f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \sin (\arctan (x)) + C$ 。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

在平面中画出顶点为 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arctan (x))$ 为 $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C$

解题步骤 15.1.2

将 $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C$

解题步骤 15.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 15.1.3.1

将 $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + C$

解题步骤 15.1.3.2

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + C$

解题步骤 15.1.3.3

对 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + C$

解题步骤 15.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + C$

解题步骤 15.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + C$

解题步骤 15.1.3.6

将 ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 15.1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

解题步骤 15.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

解题步骤 15.1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

解题步骤 15.1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.3.6.4.1

约去公因数。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

解题步骤 15.1.3.6.4.2

重写表达式。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + C$

解题步骤 15.1.3.6.5

化简。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + C$

解题步骤 15.2

要将 $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + C$

解题步骤 15.3

要将 $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 15.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的形式。

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解题步骤 15.4.1

将 $\frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 15.4.2

通过指数相加将 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 15.4.2.1

将 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 15.4.2.1.1

对 $1 + x^{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 15.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 15.4.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 15.4.2.3

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 15.4.2.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 15.4.3

将 $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 乘以 $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 15.4.4

通过指数相加将 $1 + x^{2}$ 乘以 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 15.4.4.1

将 $1 + x^{2}$ 乘以 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 15.4.4.1.1

对 $1 + x^{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 15.4.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 15.4.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 15.4.4.3

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}} + C$

解题步骤 15.4.4.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.5

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = \frac{- y (1 + x^{2}) + x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.6

化简分子。

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解题步骤 15.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (x, y) = \frac{- y (1 + x^{2}) + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.6.2

运用分配律。

$f (x, y) = \frac{- y \cdot 1 - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.6.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.6.4

通过指数相加将 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 15.6.4.1

移动 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.6.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.6.4.3

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.6.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.6.4.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.6.5

化简 $x {(1 + x^{2})}^{1}$ 。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.6.6

运用分配律。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x \cdot 1 + x \cdot x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.6.7

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x \cdot x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.6.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 15.6.8.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 15.6.8.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{1} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.6.8.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{1 + 2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.6.8.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.6.9

以因式分解的形式重写 $- y - y x^{2} + x + x^{3}$ 。

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解题步骤 15.6.9.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 15.6.9.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$f (x, y) = \frac{(- y - y x^{2}) + x + x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.6.9.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$f (x, y) = \frac{y \cdot (- 1 - x^{2}) - x (- 1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 15.6.9.2

通过因式分解出最大公因数 $- 1 - x^{2}$ 来因式分解多项式。

$f (x, y) = \frac{(- 1 - x^{2}) (y - x)}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

微积分学 示例

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