微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + y \cot (x) = 5 e^{\cos (x)}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

从 $y \cot (x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (\cot (x)) = 5 e^{\cos (x)}$

解题步骤 1.2

将 $y$ 和 $\cot (x)$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \cot (x) y = 5 e^{\cos (x)}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \cot (x)$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \cot (x) d x}$

解题步骤 2.2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sin (x) |)$ 。

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (\sin (x))}$

解题步骤 2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$\sin (x)$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

解题步骤 3.2

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 3.2.1

将 $\sin (x)$ 和 $\cot (x)$ 重新排序。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

解题步骤 3.2.2

将 $\sin (x) (\cot (x) y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

解题步骤 3.2.3

约去公因数。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = 5 \sin (x) e^{\cos (x)}$

解题步骤 3.4

将 $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = 5 \sin (x) e^{\cos (x)}$ 中的因式重新排序。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = 5 e^{\cos (x)} \sin (x)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 5 e^{\cos (x)} \sin (x)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int 5 e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\sin (x) y = \int 5 e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$\sin (x) y = 5 \int e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

解题步骤 7.2

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.2.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 7.2.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 7.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\sin (x) y = 5 \int - e^{u} d u$

解题步骤 7.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\sin (x) y = 5 (- \int e^{u} d u)$

解题步骤 7.4

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\sin (x) y = - 5 \int e^{u} d u$

解题步骤 7.5

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\sin (x) y = - 5 (e^{u} + C)$

解题步骤 7.6

化简。

$\sin (x) y = - 5 e^{u} + C$

解题步骤 7.7

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sin (x) y = - 5 e^{\cos (x)} + C$

解题步骤 8

将 $\sin (x) y = - 5 e^{\cos (x)} + C$ 中的每一项除以 $\sin (x)$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $\sin (x) y = - 5 e^{\cos (x)} + C$ 中的每一项都除以 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- 5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- 5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.1.2

分离分数。

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 8.3.1.3

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \csc (x)$

解题步骤 8.3.1.4

用 $C$ 除以 $1$ 。

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + C \csc (x)$

微积分学 示例

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