微积分学示例

$3 x^{2} (\ln (y)) d x + \frac{x^{2}}{y} d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $3 x^{2} (\ln (y)) d x$ 。

$\frac{x^{2}}{y} d y = - 3 x^{2} \ln (y) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ 。

$\frac{1}{x^{2} \ln (y)} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

合并。

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

解题步骤 3.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1}{\ln (y) y}$ 中的因式重新排序。

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

解题步骤 3.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

解题步骤 3.5

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ 。

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

解题步骤 3.6

约去 $x^{2} \ln (y)$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

约去公因数。

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

解题步骤 3.6.2

重写表达式。

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y \ln (y)} d y = \int - 3 d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

使 $u = \ln (y)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{y} d y$ ，以便 $y d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.2.1.1

设 $u = \ln (y)$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对 $\ln (y)$ 求导。

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

解题步骤 4.2.1.1.2

$\ln (y)$ 对 $y$ 的导数为 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y}$

解题步骤 4.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u = \int - 3 d x$

解题步骤 4.2.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - 3 d x$

解题步骤 4.2.3

使用 $\ln (y)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = \int - 3 d x$

解题步骤 4.3

应用常数不变法则。

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - 3 x + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| \ln (y) |)} = e^{- 3 x + C}$

解题步骤 5.2

使用对数的定义将 $\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- 3 x + C} = | \ln (y) |$

解题步骤 5.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.3.1

将方程重写为 $| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$ 。

$| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$

解题步骤 5.3.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$

解题步骤 5.3.2.2

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (y)} = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

解题步骤 5.3.2.3

使用对数的定义将 $\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\pm e^{- 3 x + C}} = y$

解题步骤 5.3.2.4

将方程重写为 $y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$ 。

$y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

解题步骤 6

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.1

将 $e^{- 3 x + C}$ 重写为 $e^{- 3 x} e^{C}$ 。

$y = e^{\pm e^{- 3 x} e^{C}}$

解题步骤 6.2

将 $e^{- 3 x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = e^{\pm e^{C} e^{- 3 x}}$

解题步骤 6.3

用加号或减号合并常数。

$y = e^{C e^{- 3 x}}$

微积分学 示例

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