微积分学示例

$(t^{2} - y t^{2}) \frac{d y}{d t} + y^{2} + t \cdot y^{2} = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + y^{2} + t y^{2} = 0$

解题步骤 1.1.2

将所有不包含 $\frac{d y}{d t}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.2.1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + t y^{2} = - y^{2}$

解题步骤 1.1.2.2

从等式两边同时减去 $t y^{2}$ 。

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

解题步骤 1.1.3

从 $t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t}$ 中分解出因数 $t^{2} \frac{d y}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

从 $t^{2} \frac{d y}{d t}$ 中分解出因数 $t^{2} \frac{d y}{d t}$ 。

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

解题步骤 1.1.3.2

从 $- y t^{2} \frac{d y}{d t}$ 中分解出因数 $t^{2} \frac{d y}{d t}$ 。

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y) = - y^{2} - t y^{2}$

解题步骤 1.1.3.3

从 $t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y)$ 中分解出因数 $t^{2} \frac{d y}{d t}$ 。

$t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$

解题步骤 1.1.4

将 $t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ 中的每一项除以 $t^{2} (1 - y)$ 并化简。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ 中的每一项都除以 $t^{2} (1 - y)$ 。

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

解题步骤 1.1.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.4.2.1

约去 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

解题步骤 1.1.4.2.2

约去 $1 - y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

解题步骤 1.1.4.2.2.2

用 $\frac{d y}{d t}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

解题步骤 1.1.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

解题步骤 1.1.4.3.1.2

约去 $t$ 和 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.3.1.2.1

从 $- t y^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t^{2} (1 - y)}$

解题步骤 1.1.4.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.4.3.1.2.2.1

从 $t^{2} (1 - y)$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

解题步骤 1.1.4.3.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

解题步骤 1.1.4.3.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- 1 y^{2}}{t (1 - y)}$

解题步骤 1.1.4.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $- \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 1.2.1.1.1

将 $1$ 和 $- y$ 重新排序。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

解题步骤 1.2.1.1.2

将 $1$ 和 $- y$ 重新排序。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

解题步骤 1.2.1.2

从 $- \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

解题步骤 1.2.1.3

从 $- \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

解题步骤 1.2.1.4

从 $- (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

解题步骤 1.2.2

要将 $\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{t}{t}$ 。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)} \cdot \frac{t}{t})$

解题步骤 1.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(- y + 1) t^{2}$ 的形式。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ 乘以 $\frac{t}{t}$ 。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t (- y + 1) t})$

解题步骤 1.2.3.2

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t (- y + 1)})$

解题步骤 1.2.3.3

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t^{1} (- y + 1)})$

解题步骤 1.2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1 + 1} (- y + 1)})$

解题步骤 1.2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)})$

解题步骤 1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

解题步骤 1.2.5

从 $y^{2} + y^{2} t$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

解题步骤 1.2.5.2

从 $y^{2} t$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)}{t^{2} (- y + 1)}$

解题步骤 1.2.5.3

从 $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

解题步骤 1.2.5.4

将 $y^{2}$ 乘以 $1 + t$ 。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}}$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $\frac{- y + 1}{y^{2}}$ 。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- y + 1}{y^{2}} (- \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

解题步骤 1.5.2

将 $\frac{y^{2}}{- y + 1}$ 乘以 $\frac{1 + t}{t^{2}}$ 。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

解题步骤 1.5.3

约去 $- y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $- \frac{- y + 1}{y^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- (- y + 1)}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

解题步骤 1.5.3.2

从 $- (- y + 1)$ 中分解出因数 $- y + 1$ 。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

解题步骤 1.5.3.3

从 $(- y + 1) t^{2}$ 中分解出因数 $- y + 1$ 。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) (t^{2})}$

解题步骤 1.5.3.4

约去公因数。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

解题步骤 1.5.3.5

重写表达式。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

解题步骤 1.5.4

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

解题步骤 1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{1 + t}{t^{2}}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$\frac{- y + 1}{y^{2}} d y = - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{- y + 1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (- y + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (- y + 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (- y + 1) y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.2

乘以 $(- y + 1) y^{- 2}$ 。

$\int - y \cdot y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.1

移动 $y^{- 2}$ 。

$\int - (y^{- 2} y) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.3.1.2

将 $y^{- 2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int - (y^{- 2} y^{1}) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int - y^{- 2 + 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.3.1.3

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$\int - y^{- 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.3.2

将 $y^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$\int - y^{- 1} + y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.5

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.6

$y^{- 1}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$- (\ln (| y |) + C_{1}) + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.7

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$- (\ln (| y |) + C_{1}) - y^{- 1} + C_{2} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.8

化简。

$- \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.2.9

重新排序项。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

解题步骤 2.3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.2.1

通过将 $t^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

解题步骤 2.3.2.2

将 ${(t^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{- 2} d t$

解题步骤 2.3.3

乘以 $(1 + t) t^{- 2}$ 。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

解题步骤 2.3.4

化简。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $t^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

解题步骤 2.3.4.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.3.4.2.1

将 $t$ 乘以 $t^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.3.4.2.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

解题步骤 2.3.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

解题步骤 2.3.4.2.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

解题步骤 2.3.5

将单个积分拆分为多个积分。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t)$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $t^{- 2}$ 对 $t$ 的积分是 $- t^{- 1}$ 。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \int t^{- 1} d t)$

解题步骤 2.3.7

$t^{- 1}$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| t |)$ 。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \ln (| t |) + C_{5})$

解题步骤 2.3.8

化简。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C$

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