微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.3.1.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \int u d u$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$

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