微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $\frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$ 乘以 $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$ 乘以 $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.4

约去 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 2 \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 2 \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.4.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.5

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.6

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.7

约去 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x^{2} \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.7.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x^{2} \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.7.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.8

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.8.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.8.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

解题步骤 1.8.3

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

解题步骤 1.8.4

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + 2 y \frac{1}{x}}$

解题步骤 1.9

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + y \frac{2}{x}}$

解题步骤 1.10

组合 $y$ 和 $\frac{2}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

解题步骤 1.11

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + \frac{2 y}{x}}$

解题步骤 1.12

使用商的乘方法则 $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + \frac{2 y}{x}}$

解题步骤 1.13

从 $\frac{2 y}{x}$ 中因式分解出 $\frac{y}{x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.13.1

从 $\frac{2 y}{x}$ 中分解出因数 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + \frac{y}{x} \cdot 2}$

解题步骤 1.13.2

将 $\frac{y}{x}$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + 2 \cdot \frac{y}{x}}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 \cdot V}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.1

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.1.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V} - V$

解题步骤 6.1.1.1.2

分解分数 $\frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V}$ 成为两个分数。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} - V$

解题步骤 6.1.1.1.3

求公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.1.3.1

将 $- V$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V}{1}$

解题步骤 6.1.1.1.3.2

将 $\frac{- V}{1}$ 乘以 $\frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V}{1} \cdot \frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$

解题步骤 6.1.1.1.3.3

将 $\frac{- V}{1}$ 乘以 $\frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V (3 + 2 V)}{3 + 2 V}$

解题步骤 6.1.1.1.4

在公分母上合并分子。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - V (3 + 2 V)}{2 V + 3}$

解题步骤 6.1.1.1.5

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.1.5.1

运用分配律。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - V \cdot 3 - V (2 V)}{2 V + 3}$

解题步骤 6.1.1.1.5.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - V (2 V)}{2 V + 3}$

解题步骤 6.1.1.1.5.3

使用乘法的交换性质重写。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 V \cdot V}{2 V + 3}$

解题步骤 6.1.1.1.5.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.1.5.4.1

通过指数相加将 $V$ 乘以 $V$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.1.5.4.1.1

移动 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 (V \cdot V)}{2 V + 3}$

解题步骤 6.1.1.1.5.4.1.2

将 $V$ 乘以 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 V^{2}}{2 V + 3}$

解题步骤 6.1.1.1.5.4.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 2 V^{2}}{2 V + 3}$

解题步骤 6.1.1.1.6

从 $V^{2}$ 中减去 $2 V^{2}$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V^{2} - 3 V}{2 V + 3}$

解题步骤 6.1.1.1.7

重新排序项。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}$

解题步骤 6.1.1.1.8

分解分数 $\frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}$ 成为两个分数。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2} - 3 V}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

解题步骤 6.1.1.1.9

从 $- V^{2} - 3 V$ 中分解出因数 $V$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.1.9.1

从 $- V^{2}$ 中分解出因数 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V) - 3 V}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

解题步骤 6.1.1.1.9.2

从 $- 3 V$ 中分解出因数 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V) + V \cdot - 3}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

解题步骤 6.1.1.1.9.3

从 $V (- V) + V \cdot - 3$ 中分解出因数 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

解题步骤 6.1.1.2

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.2.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.2.3.1

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.2.3.1.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3) + 2}{2 V + 3}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.2.3.2.1

运用分配律。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V) + V \cdot - 3 + 2}{2 V + 3}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V \cdot V + V \cdot - 3 + 2}{2 V + 3}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.2.3

将 $- 3$ 移到 $V$ 的左侧。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V \cdot V - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.2.4

通过指数相加将 $V$ 乘以 $V$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.2.3.2.4.1

移动 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V) - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.2.4.2

将 $V$ 乘以 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2} - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.3

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.2.3.3.1

从 $- V^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2}) - 3 V + 2}{2 V + 3}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.3.2

从 $- 3 V$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2}) - (3 V) + 2}{2 V + 3}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.3.3

从 $- (V^{2}) - (3 V)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V) + 2}{2 V + 3}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.3.4

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V) - 1 (- 2)}{2 V + 3}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.3.5

从 $- (V^{2} + 3 V) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V - 2)}{2 V + 3}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.3.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.2.3.3.6.1

将 $- (V^{2} + 3 V - 2)$ 重写为 $- 1 (V^{2} + 3 V - 2)$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 (V^{2} + 3 V - 2)}{2 V + 3}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.3.6.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.5

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}$ 。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x (2 V + 3)}$

解题步骤 6.1.2

重新组合因数。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.3

两边同时乘以 $\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2}$ 。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} (- \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 6.1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} (\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 6.1.4.2

将 $\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

解题步骤 6.1.4.3

约去 $2 V + 3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.4.3.1

将 $- \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- (2 V + 3)}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

解题步骤 6.1.4.3.2

从 $- (2 V + 3)$ 中分解出因数 $2 V + 3$ 。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

解题步骤 6.1.4.3.3

从 $(2 V + 3) x$ 中分解出因数 $2 V + 3$ 。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) (x)}$

解题步骤 6.1.4.3.4

约去公因数。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

解题步骤 6.1.4.3.5

重写表达式。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x}$

解题步骤 6.1.4.4

约去 $V^{2} + 3 V - 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.4.4.1

约去公因数。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x}$

解题步骤 6.1.4.4.2

重写表达式。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.5

重写该方程。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} d V = - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

使 $u = V^{2} + 3 V - 2$ 。然后使 $d u = (2 V + 3) d V$ ，以便 $\frac{1}{2 V + 3} d u = d V$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.1

设 $u = V^{2} + 3 V - 2$ 。求 $\frac{d u}{d V}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.1.1

对 $V^{2} + 3 V - 2$ 求导。

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 3 V - 2]$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.1.2.1

根据加法法则， $V^{2} + 3 V - 2$ 对 $V$ 的导数是 $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 等于 $n V^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 V + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

解题步骤 6.2.2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d V} [3 V]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $V$ 是常数，所以 $3 V$ 对 $V$ 的导数是 $3 \frac{d}{d V} [V]$ 。

$2 V + 3 \frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

解题步骤 6.2.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 等于 $n V^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 V + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d V} [- 2]$

解题步骤 6.2.2.1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 V + 3 + \frac{d}{d V} [- 2]$

解题步骤 6.2.2.1.1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.1.4.1

因为 $- 2$ 对于 $V$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $V$ 的导数为 $0$ 。

$2 V + 3 + 0$

解题步骤 6.2.2.1.1.4.2

将 $2 V + 3$ 和 $0$ 相加。

$2 V + 3$

解题步骤 6.2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3

使用 $V^{2} + 3 V - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 6.2.3.3

化简。

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) = - \ln (| x |) + C$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 \frac{y}{x} - 2 |) = - \ln (| x |) + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 \frac{y}{x} - 2 |) = - \ln (| x |) + C$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 |) + \ln (| x |) = C$

解题步骤 8.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 | | x |) = C$

解题步骤 8.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

对 $\frac{y}{x}$ 运用乘积法则。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 | | x |) = C$

解题步骤 8.3.2

组合 $3$ 和 $\frac{y}{x}$ 。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{3 y}{x} - 2 | | x |) = C$

解题步骤 8.4

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln (| (\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{3 y}{x} - 2) x |) = C$

解题步骤 8.5

运用分配律。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

解题步骤 8.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.6.1

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.6.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

解题步骤 8.6.1.2

约去公因数。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

解题步骤 8.6.1.3

重写表达式。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

解题步骤 8.6.2

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.6.2.1

约去公因数。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

解题步骤 8.6.2.2

重写表达式。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + 3 y - 2 x |) = C$

微积分学 示例

微积分学示例