微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{20 - x} y = 4$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{2}{20 - x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int \frac{2}{20 - x} d x}$

解题步骤 1.2

对 $\frac{2}{20 - x}$ 积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{2 \int \frac{1}{20 - x} d x}$

解题步骤 1.2.2

使 $u = 20 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

设 $u = 20 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 1.2.2.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 1.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{2 \int \frac{- 1}{u} d u}$

解题步骤 1.2.3

将负号移到分数的前面。

$e^{2 \int - \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 1.2.4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{2 (- \int \frac{1}{u} d u)}$

解题步骤 1.2.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 1.2.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

解题步骤 1.2.7

化简。

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

解题步骤 1.2.8

使用 $20 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- 2 \ln (| 20 - x |) + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{- 2 \ln (20 - x)}$

解题步骤 1.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln ({(20 - x)}^{- 2})}$

解题步骤 1.5

指数函数和对数函数互为反函数。

${(20 - x)}^{- 2}$

解题步骤 1.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

每一项乘以 $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ 。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

解题步骤 2.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

解题步骤 2.2.2

组合 $\frac{2}{20 - x}$ 和 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

解题步骤 2.2.3

乘以 $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

将 $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ 乘以 $\frac{2 y}{20 - x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} (20 - x)} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

解题步骤 2.2.3.2

通过指数相加将 ${(20 - x)}^{2}$ 乘以 $20 - x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.2.1

将 ${(20 - x)}^{2}$ 乘以 $20 - x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.2.1.1

对 $20 - x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} {(20 - x)}^{1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

解题步骤 2.2.3.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2 + 1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

解题步骤 2.2.3.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ 和 $4$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] d x = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} d x$

解题步骤 6.2

使 $u = 20 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

设 $u = 20 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 6.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

解题步骤 6.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int - \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 6.4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 (- \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

解题步骤 6.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 6.5.2

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 6.5.3

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 6.5.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{- 2} d u$

解题步骤 6.6

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- u^{- 1} + C)$

解题步骤 6.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.7.1

将 $- 4 (- u^{- 1} + C)$ 重写为 $- 4 (- \frac{1}{u}) + C$ 。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- \frac{1}{u}) + C$

解题步骤 6.7.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \frac{1}{u} + C$

解题步骤 6.7.2.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{u} + C$

解题步骤 6.8

使用 $20 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{20 - x} + C$

解题步骤 7

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{4}{20 - x}$ 。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} = C$

解题步骤 7.1.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

解题步骤 7.1.3

组合 $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

解题步骤 7.1.4

要将 $- \frac{4}{20 - x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{20 - x}{20 - x}$ 。

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} \cdot \frac{20 - x}{20 - x} - C = 0$

解题步骤 7.1.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${(20 - x)}^{2}$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.5.1

将 $\frac{4}{20 - x}$ 乘以 $\frac{20 - x}{20 - x}$ 。

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{(20 - x) (20 - x)} - C = 0$

解题步骤 7.1.5.2

对 $20 - x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} (20 - x)} - C = 0$

解题步骤 7.1.5.3

对 $20 - x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} {(20 - x)}^{1}} - C = 0$

解题步骤 7.1.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1 + 1}} - C = 0$

解题步骤 7.1.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

解题步骤 7.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{y - 4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

解题步骤 7.1.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.7.1

运用分配律。

$\frac{y - 4 \cdot 20 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

解题步骤 7.1.7.2

将 $- 4$ 乘以 $20$ 。

$\frac{y - 80 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

解题步骤 7.1.7.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

解题步骤 7.1.8

要将 $- C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ 。

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C \cdot \frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.9

组合 $- C$ 和 $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ 。

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{- C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.10

在公分母上合并分子。

$\frac{y - 80 + 4 x - C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.11

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.11.1

将 ${(20 - x)}^{2}$ 重写为 $(20 - x) (20 - x)$ 。

$\frac{y - 80 + 4 x - C ((20 - x) (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.11.2

使用 FOIL 方法展开 $(20 - x) (20 - x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.11.2.1

运用分配律。

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 (20 - x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.11.2.2

运用分配律。

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.11.2.3

运用分配律。

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.11.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.11.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.11.3.1.1

将 $20$ 乘以 $20$ 。

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.11.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $20$ 。

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.11.3.1.3

将 $20$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.11.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.11.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.11.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.11.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.11.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.11.3.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.11.3.2

从 $- 20 x$ 中减去 $20 x$ 。

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 40 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.11.4

运用分配律。

$\frac{y - 80 + 4 x - C \cdot 400 - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.11.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.11.5.1

将 $400$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.11.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - 1 \cdot - 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.1.11.6

将 $- 1$ 乘以 $- 40$ 。

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 7.2

将分子设为等于零。

$y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 0$

解题步骤 7.3

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.1

在等式两边都加上 $80$ 。

$y + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80$

解题步骤 7.3.2

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$y - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x$

解题步骤 7.3.3

在等式两边都加上 $400 C$ 。

$y + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C$

解题步骤 7.3.4

从等式两边同时减去 $40 C x$ 。

$y - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x$

解题步骤 7.3.5

在等式两边都加上 $C x^{2}$ 。

$y = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x + C x^{2}$

微积分学 示例

微积分学示例