微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = a (b - y)$

解题步骤 1

使 $v = b - y$ 。用 $v$ 代入替换所有出现的 $b - y$ 。

$\frac{d y}{d x} = a v$

解题步骤 2

通过对 $b - y$ 进行微分求 $\frac{d v}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $b - y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 2.2

因为 $b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $b$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{d v}{d x} = 0 + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{d v}{d x} = 0 - \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{d v}{d x} = 0 - y'$

解题步骤 2.4

从 $0$ 中减去 $y'$ 。

$\frac{d v}{d x} = - y'$

解题步骤 3

将导数代回微分方程。

$- \frac{d v}{d x} = a v$

解题步骤 4

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

两边同时乘以 $\frac{1}{v}$ 。

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (a v)$

解题步骤 4.2

约去 $v$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

从 $a v$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = a$

解题步骤 4.3

去掉多余的括号。

$\frac{1}{v} \cdot - 1 \frac{d v}{d x} = a$

解题步骤 4.4

重写该方程。

$\frac{1}{v} \cdot - 1 d v = a d x$

解题步骤 5

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{v} \cdot - 1 d v = \int a d x$

解题步骤 5.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

组合 $\frac{1}{v}$ 和 $- 1$ 。

$\int \frac{- 1}{v} d v = \int a d x$

解题步骤 5.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{1}{v} d v = \int a d x$

解题步骤 5.2.2

由于 $- 1$ 对于 $v$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{v} d v = \int a d x$

解题步骤 5.2.3

$\frac{1}{v}$ 对 $v$ 的积分为 $\ln (| v |)$ 。

$- (\ln (| v |) + C_{1}) = \int a d x$

解题步骤 5.2.4

化简。

$- \ln (| v |) + C_{1} = \int a d x$

解题步骤 5.3

应用常数不变法则。

$- \ln (| v |) + C_{1} = a x + C_{2}$

解题步骤 5.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \ln (| v |) = a x + C$

解题步骤 6

求解 $v$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $- \ln (| v |) = a x + C$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

将 $- \ln (| v |) = a x + C$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (| v |)}{- 1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (| v |)}{1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.1.2.2

用 $\ln (| v |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| v |) = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.1.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.3.1.1

移动 $\frac{a x}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| v |) = - 1 \cdot (a x) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.1.3.1.2

将 $- 1 \cdot (a x)$ 重写为 $- (a x)$ 。

$\ln (| v |) = - (a x) + \frac{C}{- 1}$

解题步骤 6.1.3.1.3

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| v |) = - a x - 1 \cdot C$

解题步骤 6.1.3.1.4

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\ln (| v |) = - a x - C$

解题步骤 6.2

要求解 $v$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| v |)} = e^{- a x - C}$

解题步骤 6.3

使用对数的定义将 $\ln (| v |) = - a x - C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- a x - C} = | v |$

解题步骤 6.4

求解 $v$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1

将方程重写为 $| v | = e^{- a x - C}$ 。

$| v | = e^{- a x - C}$

解题步骤 6.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$v = \pm e^{- a x - C}$

解题步骤 7

将常数项组合在一起。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

化简积分常数。

$v = \pm e^{- a x + C}$

解题步骤 7.2

将 $e^{- a x + C}$ 重写为 $e^{- a x} e^{C}$ 。

$v = \pm e^{- a x} e^{C}$

解题步骤 7.3

将 $e^{- a x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$v = \pm e^{C} e^{- a x}$

解题步骤 7.4

用加号或减号合并常数。

$v = C e^{- a x}$

解题步骤 8

使用 $b - y$ 替换所有出现的 $v$ 。

$b - y = C e^{- a x}$

解题步骤 9

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

从等式两边同时减去 $b$ 。

$- y = C e^{- a x} - b$

解题步骤 9.2

将 $- y = C e^{- a x} - b$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

将 $- y = C e^{- a x} - b$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

解题步骤 9.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

解题步骤 9.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

解题步骤 9.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.3.1.1

移动 $\frac{C e^{- a x}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

解题步骤 9.2.3.1.2

将 $- 1 \cdot (C e^{- a x})$ 重写为 $- (C e^{- a x})$ 。

$y = - (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

解题步骤 9.2.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$y = - C e^{- a x} + \frac{b}{1}$

解题步骤 9.2.3.1.4

用 $b$ 除以 $1$ 。

$y = - C e^{- a x} + b$

解题步骤 10

化简积分常数。

$y = C e^{- a x} + b$

微积分学 示例

微积分学示例