微积分学示例

$(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x} + x^{2} - x^{2} y = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} - x^{2} y = 0$

解题步骤 1.1.2

将所有不包含 $\frac{d y}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.2.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} y = - x^{2}$

解题步骤 1.1.2.2

在等式两边都加上 $x^{2} y$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} = - x^{2} + x^{2} y$

解题步骤 1.1.3

从 $y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $y^{2} \frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

从 $y^{2} \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $y^{2} \frac{d y}{d x}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x y^{2} \frac{d y}{d x} = - x^{2} + x^{2} y$

解题步骤 1.1.3.2

从 $x y^{2} \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $y^{2} \frac{d y}{d x}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y^{2} \frac{d y}{d x} x = - x^{2} + x^{2} y$

解题步骤 1.1.3.3

从 $y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y^{2} \frac{d y}{d x} x$ 中分解出因数 $y^{2} \frac{d y}{d x}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$

解题步骤 1.1.4

将 $y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$ 中的每一项除以 $y^{2} (1 + x)$ 并化简。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$ 中的每一项都除以 $y^{2} (1 + x)$ 。

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x)}{y^{2} (1 + x)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.4.2.1

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x)}{y^{2} (1 + x)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.2.2

约去 $1 + x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3.1.2

约去 $y$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.3.1.2.1

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y^{2} (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.4.3.1.2.2.1

从 $y^{2} (1 + x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y (y (1 + x))}$

解题步骤 1.1.4.3.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y (y (1 + x))}$

解题步骤 1.1.4.3.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2}}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

要将 $\frac{x^{2}}{y (1 + x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2}}{y (1 + x)} \cdot \frac{y}{y}$

解题步骤 1.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + x) y^{2}$ 的形式。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $\frac{x^{2}}{y (1 + x)}$ 乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y (1 + x) y}$

解题步骤 1.2.2.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1} y (1 + x)}$

解题步骤 1.2.2.3

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1} y^{1} (1 + x)}$

解题步骤 1.2.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1 + 1} (1 + x)}$

解题步骤 1.2.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

解题步骤 1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2} + x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

解题步骤 1.2.4

从 $- x^{2} + x^{2} y$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 1 + x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

解题步骤 1.2.4.2

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (y)}{y^{2} (1 + x)}$

解题步骤 1.2.4.3

从 $x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (y)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

解题步骤 1.2.4.4

将 $x^{2}$ 乘以 $- 1 + y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x} \cdot \frac{- 1 + y}{y^{2}}$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $\frac{y^{2}}{- 1 + y}$ 。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} (\frac{x^{2}}{1 + x} \cdot \frac{- 1 + y}{y^{2}})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{x^{2}}{1 + x}$ 乘以 $\frac{- 1 + y}{y^{2}}$ 。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{(1 + x) y^{2}}$

解题步骤 1.5.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $(1 + x) y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

解题步骤 1.5.2.3

重写表达式。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{1 + x}$

解题步骤 1.5.3

约去 $- 1 + y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

从 $x^{2} (- 1 + y)$ 中分解出因数 $- 1 + y$ 。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{(- 1 + y) x^{2}}{1 + x}$

解题步骤 1.5.3.2

约去公因数。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{(- 1 + y) x^{2}}{1 + x}$

解题步骤 1.5.3.3

重写表达式。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} d y = \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y^{2}}{- 1 + y} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $- 1$ 和 $y$ 重新排序。

$\int \frac{y^{2}}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2.2

用 $y^{2}$ 除以 $y - 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

解题步骤 2.2.2.2

将被除数中的最高阶项 $y^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

					$y$
	$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

解题步骤 2.2.2.3

将新的商式项乘以除数。

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			+	$y^{2}$	-	$y$

解题步骤 2.2.2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y^{2} - y$ 中的所有符号

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$

解题步骤 2.2.2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$

解题步骤 2.2.2.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$

解题步骤 2.2.2.7

将被除数中的最高阶项 $y$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$

解题步骤 2.2.2.8

将新的商式项乘以除数。

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					+	$y$	-	$1$

解题步骤 2.2.2.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y - 1$ 中的所有符号

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					-	$y$	+	$1$

解题步骤 2.2.2.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					-	$y$	+	$1$
							+	$1$

解题步骤 2.2.2.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int y + 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y d y + \int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2.4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2.5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2.6

使 $u_{1} = y - 1$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.6.1

设 $u_{1} = y - 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.6.1.1

对 $y - 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

解题步骤 2.2.6.1.2

根据加法法则， $y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.2.6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.2.6.1.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.6.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2.7

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2.8

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| u_{1} |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2.9

使用 $y - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将 $1$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

解题步骤 2.3.2

用 $x^{2}$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 2.3.2.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

解题步骤 2.3.2.3

将新的商式项乘以除数。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 2.3.2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + x$ 中的所有符号

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 2.3.2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

解题步骤 2.3.2.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

解题步骤 2.3.2.7

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

解题步骤 2.3.2.8

将新的商式项乘以除数。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

解题步骤 2.3.2.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x - 1$ 中的所有符号

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

解题步骤 2.3.2.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

解题步骤 2.3.2.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 2.3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 2.3.5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 2.3.6

使 $u_{2} = x + 1$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.6.1

设 $u_{2} = x + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.6.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2.3.6.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.6.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.6.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \ln (| u_{2} |) + C_{7}$

解题步骤 2.3.8

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

解题步骤 2.3.9

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C_{8}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$

微积分学 示例

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