微积分学示例

$(x + 2 y) d x + x d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x + 2 y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 2 y]$

解题步骤 1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x + 2 y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$

解题步骤 1.2.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [2 y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2$

解题步骤 1.4

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $2$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 = 1$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$2 = 1$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

代入 $2$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $1$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{2 - 1}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $x$ 替换 $N$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

代入 $x$ 替换 $N$ 。

$\frac{2 - 1}{x}$

解题步骤 4.3.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 5.2

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

解题步骤 5.2.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = | x | + C$

解题步骤 6

在 $(x + 2 y) d x + x d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $x + 2 y$ 乘以 $x$ 。

$(x + 2 y) x d x + x d y = 0$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$(x \cdot x + 2 y x) d x + x d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{2} + 2 y x) d x + x d y = 0$

解题步骤 6.4

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{2} + 2 y x) d x + x \cdot x d y = 0$

解题步骤 6.5

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{2} + 2 y x) d x + x^{2} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = x^{2}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = x^{2} y + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} + 2 y x$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = x^{2} + 2 y x$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $x^{2} y + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

解题步骤 11.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

解题步骤 11.3.3

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$2 y x + \frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 y x$

解题步骤 11.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = x^{2} + 2 y x$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1

从等式两边同时减去 $2 x y$ 。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 y x - 2 x y$

解题步骤 12.1.2

合并 $x^{2} + 2 y x - 2 x y$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.2.1

按照 $2 y x$ 和 $- 2 x y$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 x y - 2 x y$

解题步骤 12.1.2.2

从 $2 x y$ 中减去 $2 x y$ 。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 0$

解题步骤 12.1.2.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$

解题步骤 13

求 $x^{2}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = x^{2}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int x^{2} d x$

解题步骤 13.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 15

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{x^{3}}{3} + C$

微积分学 示例

微积分学示例