微积分学示例

$(3 e^{x} y + x) d x + e^{x} d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 3 e^{x} y + x$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{x} y + x]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $3 e^{x} y + x$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3 e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [3 e^{x} y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $3 e^{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 e^{x} y$ 对 $y$ 的导数是 $3 e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} + \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $3 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x}$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = e^{x}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $3 e^{x}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $e^{x}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$3 e^{x} = e^{x}$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$3 e^{x} = e^{x}$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $3 e^{x}$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{3 e^{x} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $e^{x}$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{3 e^{x} - e^{x}}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $e^{x}$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $e^{x}$ 替换 $N$ 。

$\frac{3 e^{x} - e^{x}}{e^{x}}$

解题步骤 4.3.2

从 $3 e^{x}$ 中减去 $e^{x}$ 。

$\frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

解题步骤 4.3.3

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$\frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

解题步骤 4.3.3.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int 2 d x}$ 。

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解题步骤 5.1

应用常数不变法则。

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

解题步骤 5.2

化简。

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

解题步骤 6

在 $(3 e^{x} y + x) d x + e^{x} d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $3 e^{x} y + x$ 乘以 $e^{2 x}$ 。

$(3 e^{x} y + x) e^{2 x} d x + e^{x} d y = 0$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$(3 e^{x} y e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

解题步骤 6.3

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 6.3.1

移动 $e^{2 x}$ 。

$(3 (e^{2 x} e^{x}) y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

解题步骤 6.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(3 e^{2 x + x} y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

解题步骤 6.3.3

将 $2 x$ 和 $x$ 相加。

$(3 e^{3 x} y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

解题步骤 6.4

将 $3 e^{3 x} y + x e^{2 x}$ 中的因式重新排序。

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

解题步骤 6.5

将 $e^{x}$ 乘以 $e^{2 x}$ 。

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} e^{2 x} d y = 0$

解题步骤 6.6

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 6.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x + 2 x} d y = 0$

解题步骤 6.6.2

将 $x$ 和 $2 x$ 相加。

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{3 x} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int e^{3 x} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = e^{3 x}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = e^{3 x} y + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y + g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $e^{3 x} y + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{3 x} y]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $e^{3 x} y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 。

$y \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 11.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$y (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.6

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$y (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.7

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$3 y e^{3 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$3 y e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.5.2

将 $\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d x} + 3 y e^{3 x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

从等式两边同时减去 $3 y e^{3 x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x} - 3 y e^{3 x}$

解题步骤 12.1.2

合并 $3 y e^{3 x} + x e^{2 x} - 3 y e^{3 x}$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.2.1

从 $3 y e^{3 x}$ 中减去 $3 y e^{3 x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = x e^{2 x} + 0$

解题步骤 12.1.2.2

将 $x e^{2 x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x e^{2 x}$

解题步骤 13

求 $x e^{2 x}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = x e^{2 x}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$g (x) = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

解题步骤 13.4

化简。

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解题步骤 13.4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$g (x) = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

解题步骤 13.4.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

解题步骤 13.5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

解题步骤 13.6

去掉圆括号。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x$

解题步骤 13.7

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 13.7.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 13.7.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 13.7.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 13.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 13.7.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 13.7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 13.8

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 13.9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 13.10

化简。

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解题步骤 13.10.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

解题步骤 13.10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

解题步骤 13.11

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

解题步骤 13.12

将 $\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ 。

$g (x) = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

解题步骤 13.13

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g (x) = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

解题步骤 15

化简 $f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ 。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

解题步骤 15.1.2

组合 $\frac{x}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

解题步骤 15.1.3

组合 $e^{2 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$

解题步骤 15.2

将 $f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = y e^{3 x} + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$

微积分学 示例

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