微积分学示例

$m x d y = n y d x$

解题步骤 1

两边同时乘以 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{1}{x y} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (y)} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

解题步骤 2.1.2

从 $m x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (y)} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

解题步骤 2.1.3

约去公因数。

$\frac{1}{x y} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

解题步骤 2.1.4

重写表达式。

$\frac{1}{y} m d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{y}$ 和 $m$ 。

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

解题步骤 2.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (n y) d x$

解题步骤 2.3.2

从 $n y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

解题步骤 2.3.3

约去公因数。

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

解题步骤 2.3.4

重写表达式。

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x} n d x$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $n$ 。

$\frac{m}{y} d y = \frac{n}{x} d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int \frac{m}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

解题步骤 3.2

对左边积分。

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解题步骤 3.2.1

由于 $m$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $m$ 移到积分外。

$m \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

解题步骤 3.2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$m (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{n}{x} d x$

解题步骤 3.2.3

化简。

$m \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{n}{x} d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

由于 $n$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $n$ 移到积分外。

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$m \ln (| y |) + C_{1} = n (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 3.3.3

化简。

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$m \ln (| y |) = n \ln (| x |) + C$

解题步骤 4

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$m \ln (| y |) - n \ln (| x |) = C$

解题步骤 4.2

在等式两边都加上 $n \ln (| x |)$ 。

$m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$

解题步骤 4.3

将 $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ 中的每一项除以 $\ln (| y |)$ 并化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ 中的每一项都除以 $\ln (| y |)$ 。

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

解题步骤 4.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.1

约去 $\ln (| y |)$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

解题步骤 4.3.2.1.2

用 $m$ 除以 $1$ 。

$m = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

解题步骤 4.4

将方程重写为 $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ 。

$\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$

解题步骤 4.5

将 $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ 中的每一项乘以 $\ln (| y |)$ 以消去分数。

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解题步骤 4.5.1

将 $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ 中的每一项乘以 $\ln (| y |)$ 。

$\frac{C}{\ln (| y |)} \ln (| y |) + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

解题步骤 4.5.2

化简左边。

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解题步骤 4.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.1.1

组合 $\frac{C}{\ln (| y |)}$ 和 $\ln (| y |)$ 。

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

解题步骤 4.5.2.1.2

组合 $\frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$ 和 $\ln (| y |)$ 。

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = m \ln (| y |)$

解题步骤 4.6

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

解题步骤 4.7

化简每一项。

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解题步骤 4.7.1

约去 $\ln (| y |)$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.1.1

约去公因数。

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

解题步骤 4.7.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

解题步骤 4.7.2

约去 $\ln (| y |)$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.2.1

约去公因数。

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

解题步骤 4.7.2.2

用 $n \ln (| x |)$ 除以 $1$ 。

$C + n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = 0$

解题步骤 4.8

将所有不包含 $\ln (| y |)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.8.1

从等式两边同时减去 $C$ 。

$n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = - C$

解题步骤 4.8.2

从等式两边同时减去 $n \ln (| x |)$ 。

$- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$

解题步骤 4.9

将 $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ 中的每一项除以 $- m$ 并化简。

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解题步骤 4.9.1

将 $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ 中的每一项都除以 $- m$ 。

$\frac{- m \ln (| y |)}{- m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

解题步骤 4.9.2

化简左边。

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解题步骤 4.9.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

解题步骤 4.9.2.2

约去 $m$ 的公因数。

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解题步骤 4.9.2.2.1

约去公因数。

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

解题步骤 4.9.2.2.2

用 $\ln (| y |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

解题步骤 4.9.3

化简右边。

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解题步骤 4.9.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.9.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

解题步骤 4.9.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$

解题步骤 4.10

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

解题步骤 4.11

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}} = | y |$

解题步骤 4.12

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.12.1

将方程重写为 $| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$ 。

$| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

解题步骤 4.12.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

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