微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 9 \frac{d y}{d x} = 0$

解题步骤 1

设 $v = \frac{d y}{d x}$ 。然后 $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 。将 $v$ 代入 $\frac{d y}{d x}$ ，将 $\frac{d v}{d x}$ 代入 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ，得到一个因变量 $v$ 和自变量 $x$ 的微分方程。

$\frac{d v}{d x} - 9 v = 0$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 9$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 9 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{- 9 x + C_{1}}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- 9 x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{- 9 x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{- 9 x}$ 。

$e^{- 9 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 9 x} (- 9 v) = e^{- 9 x} \cdot 0$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 9 x} \frac{d v}{d x} - 9 e^{- 9 x} v = e^{- 9 x} \cdot 0$

解题步骤 3.3

将 $e^{- 9 x}$ 乘以 $0$ 。

$e^{- 9 x} \frac{d v}{d x} - 9 e^{- 9 x} v = 0$

解题步骤 3.4

将 $e^{- 9 x} \frac{d v}{d x} - 9 e^{- 9 x} v = 0$ 中的因式重新排序。

$e^{- 9 x} \frac{d v}{d x} - 9 v e^{- 9 x} = 0$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- 9 x} v] = 0$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 9 x} v] d x = \int 0 d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{- 9 x} v = \int 0 d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

$0$ 对 $x$ 的积分为 $0$ 。

$e^{- 9 x} v = 0 + C_{2}$

解题步骤 7.2

将 $0$ 和 $C_{2}$ 相加。

$e^{- 9 x} v = C_{2}$

解题步骤 8

将 $e^{- 9 x} v = C_{2}$ 中的每一项除以 $e^{- 9 x}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{- 9 x} v = C_{2}$ 中的每一项都除以 $e^{- 9 x}$ 。

$\frac{e^{- 9 x} v}{e^{- 9 x}} = \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{- 9 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- 9 x} v}{e^{- 9 x}} = \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}}$

解题步骤 9

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}}$

解题步骤 10

重写该方程。

$d y = \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}} d x$

解题步骤 11

对两边积分。

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解题步骤 11.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}} d x$

解题步骤 11.2

应用常数不变法则。

$y + C_{3} = \int \frac{C_{2}}{e^{- 9 x}} d x$

解题步骤 11.3

对右边积分。

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解题步骤 11.3.1

由于 $C_{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $C_{2}$ 移到积分外。

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{1}{e^{- 9 x}} d x$

解题步骤 11.3.2

化简表达式。

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解题步骤 11.3.2.1

将 $e^{- 9 x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 {(e^{- 9 x})}^{- 1} d x$

解题步骤 11.3.2.2

化简。

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解题步骤 11.3.2.2.1

将 ${(e^{- 9 x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- 9 x \cdot - 1} d x$

解题步骤 11.3.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{9 x} d x$

解题步骤 11.3.2.2.2

将 $e^{9 x}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{9 x} d x$

解题步骤 11.3.3

使 $u = 9 x$ 。然后使 $d u = 9 d x$ ，以便 $\frac{1}{9} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 11.3.3.1

设 $u = 9 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 11.3.3.1.1

对 $9 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [9 x]$

解题步骤 11.3.3.1.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11.3.3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$9 \cdot 1$

解题步骤 11.3.3.1.4

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$9$

解题步骤 11.3.3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{u} \frac{1}{9} d u$

解题步骤 11.3.4

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{e^{u}}{9} d u$

解题步骤 11.3.5

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$y + C_{3} = C_{2} (\frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

解题步骤 11.3.6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$y + C_{3} = C_{2} \frac{1}{9} (e^{u} + C_{4})$

解题步骤 11.3.7

化简。

$y + C_{3} = \frac{C_{2}}{9} e^{u} + C_{5}$

解题步骤 11.3.8

使用 $9 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{3} = \frac{C_{2}}{9} e^{9 x} + C_{5}$

解题步骤 11.3.9

重新排序项。

$y + C_{3} = \frac{1}{9} C_{2} e^{9 x} + C_{5}$

解题步骤 11.3.10

重新排序项。

$y + C_{3} = \frac{1}{9} e^{9 x} C_{2} + C_{5}$

解题步骤 11.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$y = \frac{1}{9} e^{9 x} C + D$

微积分学 示例

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