微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x + 2 x y^{2})}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从 $x + 2 x y^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x^{1} + 2 x y^{2})}$

解题步骤 1.1.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x \cdot 1 + 2 x y^{2})}$

解题步骤 1.1.3

从 $2 x y^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x \cdot 1 + x (2 y^{2}))}$

解题步骤 1.1.4

从 $x \cdot 1 + x (2 y^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x (1 + 2 y^{2}))}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x y (1 + 2 y^{2})}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})}$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $y (1 + 2 y^{2})$ 。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = y (1 + 2 y^{2}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + y (2 y^{2})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

解题步骤 1.5.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + y (2 y^{2})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

解题步骤 1.5.3

使用乘法的交换性质重写。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y \cdot y^{2}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

解题步骤 1.5.4

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.4.1

移动 $y^{2}$ 。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 (y^{2} y)) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

解题步骤 1.5.4.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.5.4.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 (y^{2} y^{1})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

解题步骤 1.5.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{2 + 1}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

解题步骤 1.5.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

解题步骤 1.5.5

合并。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x^{2} \cdot 1}{4 x (y (1 + 2 y^{2}))}$

解题步骤 1.5.6

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x^{2}}{4 x (y (1 + 2 y^{2}))}$

解题步骤 1.5.7

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.7.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{4 x y (1 + 2 y^{2})}$

解题步骤 1.5.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.7.2.1

从 $4 x y (1 + 2 y^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{x (4 y (1 + 2 y^{2}))}$

解题步骤 1.5.7.2.2

约去公因数。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{x (4 y (1 + 2 y^{2}))}$

解题步骤 1.5.7.2.3

重写表达式。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

解题步骤 1.5.8

将 $y + 2 y^{3}$ 乘以 $\frac{x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$ 。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

解题步骤 1.5.9

从 $y + 2 y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.5.9.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{1} + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

解题步骤 1.5.9.2

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

解题步骤 1.5.9.3

从 $2 y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y (2 y^{2})) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

解题步骤 1.5.9.4

从 $y \cdot 1 + y (2 y^{2})$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + 2 y^{2}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

解题步骤 1.5.10

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.10.1

约去公因数。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + 2 y^{2}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

解题步骤 1.5.10.2

重写表达式。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + 2 y^{2}) x}{4 (1 + 2 y^{2})}$

解题步骤 1.5.11

约去 $1 + 2 y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.11.1

约去公因数。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + 2 y^{2}) x}{4 (1 + 2 y^{2})}$

解题步骤 1.5.11.2

重写表达式。

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{x}{4}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$y (1 + 2 y^{2}) d y = \frac{x}{4} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y (1 + 2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简。

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解题步骤 2.2.1.1

运用分配律。

$\int y \cdot 1 + y (2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 $y$ 和 $1$ 重新排序。

$\int 1 \cdot y + y (2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

解题步骤 2.2.1.3

将 $y$ 和 $2$ 重新排序。

$\int 1 \cdot y + 2 \cdot y \cdot y^{2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

解题步骤 2.2.1.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\int y + 2 y \cdot y^{2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

解题步骤 2.2.1.5

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int y + 2 (y^{1} y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

解题步骤 2.2.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int y + 2 y^{1 + 2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

解题步骤 2.2.1.7

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int y + 2 y^{3} d y = \int \frac{x}{4} d x$

解题步骤 2.2.1.8

将 $y$ 和 $2 y^{3}$ 重新排序。

$\int 2 y^{3} + y d y = \int \frac{x}{4} d x$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 y^{3} d y + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int y^{3} d y + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

解题步骤 2.2.4

根据幂法则， $y^{3}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{4} y^{4}$ 。

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

解题步骤 2.2.5

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x}{4} d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

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解题步骤 2.2.6.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $y^{4}$ 。

$2 (\frac{y^{4}}{4} + C_{1}) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x}{4} d x$

解题步骤 2.2.6.2

化简。

$\frac{y^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{4} d x$

解题步骤 2.2.6.3

重新排序项。

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{4} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ 重写为 $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$ 。

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4 \cdot 2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{8} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{8} x^{2} + K$

微积分学 示例

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