微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$

解题步骤 1

将 $x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ 中的每一项除以 $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ 中的每一项都除以 $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.2.2

约去 $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.1.1.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.1.3

将 $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})}$ 重写为 ${(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.1.4

将 $\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ 转换成 $\csc (\frac{y}{x})$ 。

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.1.5

约去 $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.5.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

解题步骤 1.3.1.5.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (V) + V$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \csc^{2} (V) + V$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.1.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + V - V$

解题步骤 6.1.1.1.2

合并 $\csc^{2} (V) + V - V$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.1.2.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + 0$

解题步骤 6.1.1.1.2.2

将 $\csc^{2} (V)$ 和 $0$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$

解题步骤 6.1.1.2

将 $x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.2.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

解题步骤 6.1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{\csc^{2} (V)}$ 。

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc^{2} (V)} \cdot \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

解题步骤 6.1.3

化简。

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解题步骤 6.1.3.1

合并。

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

解题步骤 6.1.3.2

约去 $\csc^{2} (V)$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

解题步骤 6.1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.4

重写该方程。

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

化简。

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解题步骤 6.2.2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.2

将 $\frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\csc (V)})}^{2}$ 。

$\int {(\frac{1}{\csc (V)})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.3

将 $\csc (V)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (V)}$ 。

$\int {(1 \sin (V))}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.5

将 $\sin (V)$ 乘以 $1$ 。

$\int \sin^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 V)}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (V)$ 的形式。

$\int \frac{1 - \cos (2 V)}{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $V$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int d V + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (V + C_{1} + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.6

由于 $- 1$ 对于 $V$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.7

使 $u = 2 V$ 。然后使 $d u = 2 d V$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d V$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.2.7.1

设 $u = 2 V$ 。求 $\frac{d u}{d V}$ 。

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解题步骤 6.2.2.7.1.1

对 $2 V$ 求导。

$\frac{d}{d V} [2 V]$

解题步骤 6.2.2.7.1.2

因为 $2$ 对于 $V$ 是常数，所以 $2 V$ 对 $V$ 的导数是 $2 \frac{d}{d V} [V]$ 。

$2 \frac{d}{d V} [V]$

解题步骤 6.2.2.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 等于 $n V^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.2.2.7.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6.2.2.7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.8

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.10

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.11

化简。

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.12

使用 $2 V$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (2 V)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.13

化简。

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解题步骤 6.2.2.13.1

组合 $\sin (2 V)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (V - \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.13.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} V + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.13.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $V$ 。

$\frac{V}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.13.4

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2})$ 。

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解题步骤 6.2.2.13.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sin (2 V)}{2}$ 。

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.13.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.14

重新排序项。

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 8

化简左边。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 8.1.2

组合 $2$ 和 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (\frac{2 y}{x}) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 8.1.3

组合 $\sin (\frac{2 y}{x})$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{y}{2 x} - \frac{\sin (\frac{2 y}{x})}{4} = \ln (| x |) + C$

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