微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$

解题步骤 1

拆分 $\frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$ 并化简。

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解题步骤 1.1

分解分数 $\frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$ 成为两个分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x})}{x} + \frac{y}{x}$

解题步骤 1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x})}{x} + \frac{y}{x}$

解题步骤 1.2.2

用 $\sec (\frac{y}{x})$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \sec (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \sec (V) + V$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \sec (V) + V$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.1.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V) + V - V$

解题步骤 6.1.1.1.2

合并 $\sec (V) + V - V$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.1.2.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V) + 0$

解题步骤 6.1.1.1.2.2

将 $\sec (V)$ 和 $0$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$

解题步骤 6.1.1.2

将 $x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.2.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sec (V)}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sec (V)}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sec (V)}{x}$

解题步骤 6.1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{\sec (V)}$ 。

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sec (V)} \cdot \frac{\sec (V)}{x}$

解题步骤 6.1.3

约去 $\sec (V)$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sec (V)} \cdot \frac{\sec (V)}{x}$

解题步骤 6.1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.4

重写该方程。

$\frac{1}{\sec (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sec (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

化简。

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解题步骤 6.2.2.1.1

将 $\sec (V)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (V)}$ 。

$\int 1 \cos (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.3

将 $\cos (V)$ 乘以 $1$ 。

$\int \cos (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

$\cos (V)$ 对 $V$ 的积分为 $\sin (V)$ 。

$\sin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\sin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\sin (V) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $V$ 。

$V = \arcsin (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = \arcsin (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = \arcsin (\ln (| x |) + C)$ 。

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解题步骤 8.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2.1.1.2

重写表达式。

$y = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $\arcsin (\ln (| x |) + C) x$ 中的因式重新排序。

$y = x \arcsin (\ln (| x |) + C)$

微积分学 示例

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