微积分学示例

$x^{2} \frac{d y}{d x} - y \sqrt{x} = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

在等式两边都加上 $y \sqrt{x}$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$

解题步骤 1.1.2

将 $x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

解题步骤 1.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.1.2

化简。

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解题步骤 2.3.1.2.1

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.1.2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.1.2.3

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

解题步骤 2.3.1.2.3.2

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

解题步骤 2.3.1.2.3.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

解题步骤 2.3.1.2.3.4

在公分母上合并分子。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

解题步骤 2.3.1.2.3.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.1.2.3.5.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

解题步骤 2.3.1.2.3.5.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

解题步骤 2.3.1.2.3.6

将负号移到分数的前面。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{- \frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$ 重写为 $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ 。

$| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

解题步骤 3.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ 重写为 $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

微积分学 示例

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