微积分学示例

$4 y \frac{d y}{d x} = 9 x^{2}$

解题步骤 1

重写该方程。

$4 y d y = 9 x^{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 4 y d y = \int 9 x^{2} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int y d y = \int 9 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 9 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ 重写为 $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ 。

$4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3.2

化简。

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解题步骤 2.2.3.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{4}{2} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3.2.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3.2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$2 y^{2} + C_{1} = 9 \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$2 y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ 重写为 $9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ 。

$2 y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $9$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.2

约去公因数。

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.3

重写表达式。

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$2 y^{2} + C_{1} = 3 x^{3} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$2 y^{2} = 3 x^{3} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 y^{2} = 3 x^{3} + K$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $2 y^{2} = 3 x^{3} + K$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{3 x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{3 x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{3 x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{3 x^{3}}{2} + \frac{K}{2}}$

解题步骤 3.3

化简 $\pm \sqrt{\frac{3 x^{3}}{2} + \frac{K}{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{3 x^{3} + K}{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $\sqrt{\frac{3 x^{3} + K}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.3.3

将 $\frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.3.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.3.4.1

将 $\frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.3.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.3.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 3.3.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.3.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.3.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.3.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.4.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.3.4.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.3.4.6.5

计算指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3.5

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{(3 x^{3} + K) \cdot 2}}{2}$

解题步骤 3.3.6

将 $\pm \frac{\sqrt{(3 x^{3} + K) \cdot 2}}{2}$ 中的因式重新排序。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{2}$

微积分学 示例

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