微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

解题步骤 1

以数学表达式书写该问题。

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

解题步骤 2

重写微分方程。

$x y' - y = 2 x^{2} y$

解题步骤 3

求 $y'$ 。

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解题步骤 3.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A x e^{x^{2}})$

解题步骤 3.2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.3.1

因为 $A$ 对于 $x$ 是常数，所以 $A x e^{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ 。

$A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x^{2}}$ 。

$A (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$A (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$A (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$A (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$A (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$A (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$A (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$A (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.8

化简表达式。

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解题步骤 3.3.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$A (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.8.2

将 $2$ 移到 $e^{x^{2}}$ 的左侧。

$A (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.3.10

将 $e^{x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

解题步骤 3.3.11

化简。

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解题步骤 3.3.11.1

运用分配律。

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + A e^{x^{2}}$

解题步骤 3.3.11.2

重新排序项。

$2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$

解题步骤 3.3.11.3

将 $2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$ 中的因式重新排序。

$2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

解题步骤 3.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

解题步骤 4

代入给定的微分方程。

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

解题步骤 5.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$2 x (x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

解题步骤 5.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 (x^{2} x) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

解题步骤 5.1.3.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{2} x^{1}) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

解题步骤 5.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{2 + 1} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

解题步骤 5.1.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}} = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

解题步骤 5.2

合并 $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.1

按照 $x (A e^{x^{2}})$ 和 $- A x e^{x^{2}}$ 重新排列因数。

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} A x - e^{x^{2}} A x = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

解题步骤 5.2.2

从 $e^{x^{2}} A x$ 中减去 $e^{x^{2}} A x$ 。

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + 0 = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

解题步骤 5.2.3

将 $2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ 和 $0$ 相加。

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

解题步骤 5.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1

移动 $x$ 。

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x \cdot x^{2}) (A e^{x^{2}})$

解题步骤 5.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x^{1} x^{2}) (A e^{x^{2}})$

解题步骤 5.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{1 + 2} (A e^{x^{2}})$

解题步骤 5.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$

解题步骤 5.4

将 $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ 中的因式重新排序。

$2 x^{3} A e^{x^{2}} = 2 x^{3} A e^{x^{2}}$

解题步骤 6

给定的解满足给定微分方程。

$y = A x e^{x^{2}}$ 是 $x y' - y = 2 x^{2} y$ 的解

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