微积分学示例

$y^{9} d y = x^{3} d x$

解题步骤 1

对两边积分。

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解题步骤 1.1

在两边建立积分。

$\int y^{9} d y = \int x^{3} d x$

解题步骤 1.2

根据幂法则， $y^{9}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{10} y^{10}$ 。

$\frac{1}{10} y^{10} + C_{1} = \int x^{3} d x$

解题步骤 1.3

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{10} y^{10} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

解题步骤 1.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{10} y^{10} = \frac{1}{4} x^{4} + K$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

等式两边同时乘以 $10$ 。

$10 (\frac{1}{10} y^{10}) = 10 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

解题步骤 2.2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.2.1

化简左边。

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解题步骤 2.2.1.1

化简 $10 (\frac{1}{10} y^{10})$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{10}$ 和 $y^{10}$ 。

$10 \frac{y^{10}}{10} = 10 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$10 \frac{y^{10}}{10} = 10 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{10} = 10 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

解题步骤 2.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.1

化简 $10 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$y^{10} = 10 (\frac{x^{4}}{4} + K)$

解题步骤 2.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{10} = 10 \frac{x^{4}}{4} + 10 K$

解题步骤 2.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.3.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{10} = 2 (5) \frac{x^{4}}{4} + 10 K$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{10} = 2 \cdot 5 \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} + 10 K$

解题步骤 2.2.2.1.3.3

约去公因数。

$y^{10} = 2 \cdot 5 \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} + 10 K$

解题步骤 2.2.2.1.3.4

重写表达式。

$y^{10} = 5 \frac{x^{4}}{2} + 10 K$

解题步骤 2.2.2.1.4

组合 $5$ 和 $\frac{x^{4}}{2}$ 。

$y^{10} = \frac{5 x^{4}}{2} + 10 K$

解题步骤 2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt[10]{\frac{5 x^{4}}{2} + 10 K}$

解题步骤 2.4

化简 $\pm \sqrt[10]{\frac{5 x^{4}}{2} + 10 K}$ 。

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解题步骤 2.4.1

从 $\frac{5 x^{4}}{2} + 10 K$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

从 $\frac{5 x^{4}}{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \pm \sqrt[10]{5 \frac{x^{4}}{2} + 10 K}$

解题步骤 2.4.1.2

从 $10 K$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \pm \sqrt[10]{5 \frac{x^{4}}{2} + 5 (2 K)}$

解题步骤 2.4.1.3

从 $5 \frac{x^{4}}{2} + 5 (2 K)$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \pm \sqrt[10]{5 (\frac{x^{4}}{2} + 2 K)}$

解题步骤 2.4.2

要将 $2 K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \pm \sqrt[10]{5 (\frac{x^{4}}{2} + 2 K \cdot \frac{2}{2})}$

解题步骤 2.4.3

组合 $2 K$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \pm \sqrt[10]{5 (\frac{x^{4}}{2} + \frac{2 K \cdot 2}{2})}$

解题步骤 2.4.4

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt[10]{5 \frac{x^{4} + 2 K \cdot 2}{2}}$

解题步骤 2.4.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \pm \sqrt[10]{5 \frac{x^{4} + 4 K}{2}}$

解题步骤 2.4.6

组合 $5$ 和 $\frac{x^{4} + 4 K}{2}$ 。

$y = \pm \sqrt[10]{\frac{5 (x^{4} + 4 K)}{2}}$

解题步骤 2.4.7

将 $\sqrt[10]{\frac{5 (x^{4} + 4 K)}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

解题步骤 2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

解题步骤 2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

解题步骤 2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[10]{2}}$

解题步骤 3

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + K)}}{\sqrt[10]{2}}$

$y = - \frac{\sqrt[10]{5 (x^{4} + K)}}{\sqrt[10]{2}}$

微积分学 示例

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