微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\tan^{2} (y)$ 。

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \tan^{2} (y) \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

解题步骤 1.2

约去 $\tan^{2} (y)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \tan^{2} (y) \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\tan^{2} (y) d y = \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \tan^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (y)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (y)$ 的形式。

$\int - 1 + \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 1 d y + \int \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.3

应用常数不变法则。

$- y + C_{1} + \int \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.4

因为 $\tan (y)$ 的导数为 $\sec^{2} (y)$ ，所以 $\sec^{2} (y)$ 的积分为 $\tan (y)$ 。

$- y + C_{1} + \tan (y) + C_{2} = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$- y + \tan (y) + C_{3} = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.3

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$- y + \tan (y) + C_{3} = \tan (x) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- y + \tan (y) = \tan (x) + K$

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