微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = y + \sin (x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} - y = \sin (x)$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 1$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 1 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{- x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} \sin (x)$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$

解题步骤 3.3

将 $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$ 中的因式重新排序。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = e^{- x} \sin (x)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = e^{- x} \sin (x)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int e^{- x} \sin (x) d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{- x} y = \int e^{- x} \sin (x) d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

将 $e^{- x}$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$e^{- x} y = \int \sin (x) e^{- x} d x$

解题步骤 7.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (x)$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} \cos (x) d x$

解题步骤 7.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - - \int e^{- x} \cos (x) d x$

解题步骤 7.4

化简表达式。

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解题步骤 7.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} \cos (x) d x$

解题步骤 7.4.2

将 $\int e^{- x} \cos (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int e^{- x} \cos (x) d x$

解题步骤 7.4.3

将 $e^{- x}$ 和 $\cos (x)$ 重新排序。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int \cos (x) e^{- x} d x$

解题步骤 7.5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (x)$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- \sin (x)) d x$

解题步骤 7.6

由于 $- - 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- - 1$ 移到积分外。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (- - 1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

解题步骤 7.7

乘。

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解题步骤 7.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

解题步骤 7.7.2

将 $\int e^{- x} (\sin (x)) d x$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int e^{- x} (\sin (x)) d x$

解题步骤 7.8

求解 $\int e^{- x} \sin (x) d x$ ，我们发现 $\int e^{- x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2}$ 。

$e^{- x} y = \frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$

解题步骤 7.9

化简答案。

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解题步骤 7.9.1

将 $\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$ 重写为 $\frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$ 。

$e^{- x} y = \frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

解题步骤 7.9.2

化简。

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解题步骤 7.9.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.9.2.1.1

从 $- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 7.9.2.1.1.1

从 $- \sin (x) e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

解题步骤 7.9.2.1.1.2

从 $- \cos (x) e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))}{2} + C$

解题步骤 7.9.2.1.1.3

从 $e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x))}{2} + C$

解题步骤 7.9.2.1.2

从 $- \sin (x) - \cos (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 7.9.2.1.2.1

从 $- \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - \cos (x))}{2} + C$

解题步骤 7.9.2.1.2.2

从 $- \cos (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - (\cos (x)))}{2} + C$

解题步骤 7.9.2.1.2.3

从 $- (\sin (x)) - (\cos (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x) + \cos (x)))}{2} + C$

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

解题步骤 7.9.2.1.3

提取负因数。

$e^{- x} y = \frac{- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

解题步骤 7.9.2.2

将负号移到分数的前面。

$e^{- x} y = - \frac{1}{2} e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)) + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

组合 $e^{- x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$

解题步骤 8.2

将 $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ 中的每一项除以 $e^{- x}$ 并化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ 中的每一项都除以 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.1

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.3.1.1

从 $\frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}}$ 中分解出因数 $\frac{e^{- x}}{2}$ 。

$y = \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.2.3.1.2

合并。

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.2.3.1.3

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.3.1

约去公因数。

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.2.3.1.3.2

重写表达式。

$y = \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.2.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{\sin (x) + \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$

微积分学 示例

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