微积分学示例

$y (1 + \cos (x y)) d x + x (1 + \cos (x y)) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = y (1 + \cos (x y))$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (1 + \cos (x y))]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = 1 + \cos (x y)$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [1 + \cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $1 + \cos (x y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [\cos (x y)]$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [\cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \cos (y)$ 且 $g (y) = x y$ 。

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解题步骤 1.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.4.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.4.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.5

求微分。

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解题步骤 1.5.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x y$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) (x \frac{d}{d y} [y])) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) (x \cdot 1)) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.5.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + (1 + \cos (x y)) \cdot 1$

解题步骤 1.5.5

化简表达式。

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解题步骤 1.5.5.1

将 $1 + \cos (x y)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + 1 + \cos (x y)$

解题步骤 1.5.5.2

重新排序项。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x (1 + \cos (x y))$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (1 + \cos (x y))]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 1 + \cos (x y)$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [1 + \cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $1 + \cos (x y)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) (y \frac{d}{d x} [x])) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) (y \cdot 1)) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + (1 + \cos (x y)) \cdot 1$

解题步骤 2.5.5

化简表达式。

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解题步骤 2.5.5.1

将 $1 + \cos (x y)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + 1 + \cos (x y)$

解题步骤 2.5.5.2

重新排序项。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y) = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y) = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int x (1 + \cos (x y)) d y$

解题步骤 5

对 $N (x, y) = x (1 + \cos (x y))$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $x$ 移到积分外。

$f (x, y) = x \int 1 + \cos (x y) d y$

解题步骤 5.2

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = x (\int d y + \int \cos (x y) d y)$

解题步骤 5.3

应用常数不变法则。

$f (x, y) = x (y + C + \int \cos (x y) d y)$

解题步骤 5.4

使 $u = x y$ 。然后使 $d u = x d y$ ，以便 $\frac{1}{x} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.4.1

设 $u = x y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

对 $x y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [x y]$

解题步骤 5.4.1.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x y$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$x \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 5.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x \cdot 1$

解题步骤 5.4.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x$

解题步骤 5.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$f (x, y) = x (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{x} d u)$

解题步骤 5.5

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f (x, y) = x (y + C + \int \frac{\cos (u)}{x} d u)$

解题步骤 5.6

由于 $\frac{1}{x}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{x}$ 移到积分外。

$f (x, y) = x (y + C + \frac{1}{x} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 5.7

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$f (x, y) = x (y + C + \frac{1}{x} (\sin (u) + C))$

解题步骤 5.8

化简。

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (u)}{x}) + C$

解题步骤 5.9

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + C$

解题步骤 6

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})]$ 。

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解题步骤 8.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y + \frac{\sin (x y)}{x}$ 。

$x \frac{d}{d x} [y + \frac{\sin (x y)}{x}] + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.2

根据加法法则， $y + \frac{\sin (x y)}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]$ 。

$x (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.3

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (0 + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sin (x y)$ 且 $g (x) = x$ 。

$x (0 + \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x y)] - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 8.3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$x (0 + \frac{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.5.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$x (0 + \frac{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.5.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.6

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \frac{d}{d x} [x])) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.10

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.12

将 $0$ 和 $\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}$ 相加。

$x \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.13

组合 $x$ 和 $\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}$ 。

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x^{2}} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.14

约去公因数。

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解题步骤 8.3.14.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x \cdot x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.14.2

约去公因数。

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x \cdot x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.14.3

重写表达式。

$\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.15

将 $y + \frac{\sin (x y)}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x} + y + \frac{\sin (x y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.16

在公分母上合并分子。

$y + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y) + \sin (x y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.17

将 $- \sin (x y)$ 和 $\sin (x y)$ 相加。

$y + \frac{x (\cos (x y) y) + 0}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.18

将 $x (\cos (x y) y)$ 和 $0$ 相加。

$y + \frac{x (\cos (x y) y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.19

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.19.1

约去公因数。

$y + \frac{x (\cos (x y) y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.3.19.2

用 $\cos (x y) y$ 除以 $1$ 。

$y + \cos (x y) y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$y + \cos (x y) y + \frac{d g}{d x} = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 8.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

化简右边。

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解题步骤 9.1.1.1

化简 $y (1 + \cos (x y))$ 。

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解题步骤 9.1.1.1.1

重写。

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = 0 + 0 + y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 9.1.1.1.2

通过加上各个零进行化简。

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y (1 + \cos (x y))$

解题步骤 9.1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y \cdot 1 + y \cos (x y)$

解题步骤 9.1.1.1.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y + y \cos (x y)$

解题步骤 9.1.2

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.2.1

从等式两边同时减去 $y \cos (x y)$ 。

$\frac{d g}{d x} + y = y + y \cos (x y) - y \cos (x y)$

解题步骤 9.1.2.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} = y + y \cos (x y) - y \cos (x y) - y$

解题步骤 9.1.2.3

合并 $y + y \cos (x y) - y \cos (x y) - y$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.3.1

从 $y \cos (x y)$ 中减去 $y \cos (x y)$ 。

$\frac{d g}{d x} = y + 0 - y$

解题步骤 9.1.2.3.2

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = y - y$

解题步骤 9.1.2.3.3

从 $y$ 中减去 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} = 0$

解题步骤 10

求 $0$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d x} = 0$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int 0 d x$

解题步骤 10.3

$0$ 对 $x$ 的积分为 $0$ 。

$g (x) = 0 + C$

解题步骤 10.4

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$g (x) = C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + C$

解题步骤 12

化简每一项。

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解题步骤 12.1

运用分配律。

$f (x, y) = x y + x \frac{\sin (x y)}{x} + C$

解题步骤 12.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1

约去公因数。

$f (x, y) = x y + x \frac{\sin (x y)}{x} + C$

解题步骤 12.2.2

重写表达式。

$f (x, y) = x y + \sin (x y) + C$

微积分学 示例

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