微积分学示例

${(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x} d x + {(e^{- x} + 1)}^{- 3} e^{y} d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 ${(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x} d x$ 。

${(e^{- x} + 1)}^{- 3} e^{y} d y = - {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x} d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 ${(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2}$ 。

${(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} ({(e^{- x} + 1)}^{- 3} e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

通过指数相加将 ${(e^{- x} + 1)}^{3}$ 乘以 ${(e^{- x} + 1)}^{- 3}$ 。

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解题步骤 3.1.1

移动 ${(e^{- x} + 1)}^{- 3}$ 。

${(e^{- x} + 1)}^{- 3} {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(e^{- x} + 1)}^{- 3 + 3} {(e^{- y} + 1)}^{2} e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.1.3

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

${(e^{- x} + 1)}^{0} {(e^{- y} + 1)}^{2} e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.2

化简 ${(e^{- x} + 1)}^{0} {(e^{- y} + 1)}^{2} e^{y}$ 。

${(e^{- y} + 1)}^{2} e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.3

将 ${(e^{- y} + 1)}^{2}$ 重写为 $(e^{- y} + 1) (e^{- y} + 1)$ 。

$(e^{- y} + 1) (e^{- y} + 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.4

使用 FOIL 方法展开 $(e^{- y} + 1) (e^{- y} + 1)$ 。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$(e^{- y} (e^{- y} + 1) + 1 (e^{- y} + 1)) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.4.2

运用分配律。

$(e^{- y} e^{- y} + e^{- y} \cdot 1 + 1 (e^{- y} + 1)) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.4.3

运用分配律。

$(e^{- y} e^{- y} + e^{- y} \cdot 1 + 1 e^{- y} + 1 \cdot 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1.1

通过指数相加将 $e^{- y}$ 乘以 $e^{- y}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(e^{- y - y} + e^{- y} \cdot 1 + 1 e^{- y} + 1 \cdot 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.5.1.1.2

从 $- y$ 中减去 $y$ 。

$(e^{- 2 y} + e^{- y} \cdot 1 + 1 e^{- y} + 1 \cdot 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.5.1.2

将 $e^{- y}$ 乘以 $1$ 。

$(e^{- 2 y} + e^{- y} + 1 e^{- y} + 1 \cdot 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.5.1.3

将 $e^{- y}$ 乘以 $1$ 。

$(e^{- 2 y} + e^{- y} + e^{- y} + 1 \cdot 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.5.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$(e^{- 2 y} + e^{- y} + e^{- y} + 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.5.2

将 $e^{- y}$ 和 $e^{- y}$ 相加。

$(e^{- 2 y} + 2 e^{- y} + 1) e^{y} d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.6

运用分配律。

$(e^{- 2 y} e^{y} + 2 e^{- y} e^{y} + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

通过指数相加将 $e^{- 2 y}$ 乘以 $e^{y}$ 。

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解题步骤 3.7.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(e^{- 2 y + y} + 2 e^{- y} e^{y} + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.7.1.2

将 $- 2 y$ 和 $y$ 相加。

$(e^{- y} + 2 e^{- y} e^{y} + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.7.2

通过指数相加将 $e^{- y}$ 乘以 $e^{y}$ 。

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解题步骤 3.7.2.1

移动 $e^{y}$ 。

$(e^{- y} + 2 (e^{y} e^{- y}) + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(e^{- y} + 2 e^{y - y} + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.7.2.3

从 $y$ 中减去 $y$ 。

$(e^{- y} + 2 e^{0} + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.7.3

化简 $2 e^{0}$ 。

$(e^{- y} + 2 + 1 e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.7.4

将 $e^{y}$ 乘以 $1$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} (- {(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.8

使用乘法的交换性质重写。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{2} ({(e^{- y} + 1)}^{- 2} e^{x}) d x$

解题步骤 3.9

通过指数相加将 ${(e^{- y} + 1)}^{2}$ 乘以 ${(e^{- y} + 1)}^{- 2}$ 。

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解题步骤 3.9.1

移动 ${(e^{- y} + 1)}^{- 2}$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - {(e^{- x} + 1)}^{3} ({(e^{- y} + 1)}^{- 2} {(e^{- y} + 1)}^{2}) e^{x} d x$

解题步骤 3.9.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{- 2 + 2} e^{x} d x$

解题步骤 3.9.3

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{0} e^{x} d x$

解题步骤 3.10

化简 $- {(e^{- x} + 1)}^{3} {(e^{- y} + 1)}^{0} e^{x}$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - {(e^{- x} + 1)}^{3} e^{x} d x$

解题步骤 3.11

使用二项式定理。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - ({(e^{- x})}^{3} + 3 {(e^{- x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

解题步骤 3.12

化简每一项。

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解题步骤 3.12.1

将 ${(e^{- x})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.12.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- x \cdot 3} + 3 {(e^{- x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

解题步骤 3.12.1.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 {(e^{- x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

解题步骤 3.12.2

将 ${(e^{- x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.12.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- x \cdot 2} \cdot 1 + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

解题步骤 3.12.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- 2 x} \cdot 1 + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

解题步骤 3.12.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- 2 x} + 3 e^{- x} \cdot 1^{2} + 1^{3}) e^{x} d x$

解题步骤 3.12.4

一的任意次幂都为一。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- 2 x} + 3 e^{- x} \cdot 1 + 1^{3}) e^{x} d x$

解题步骤 3.12.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- 2 x} + 3 e^{- x} + 1^{3}) e^{x} d x$

解题步骤 3.12.6

一的任意次幂都为一。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = - (e^{- 3 x} + 3 e^{- 2 x} + 3 e^{- x} + 1) e^{x} d x$

解题步骤 3.13

运用分配律。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 3 x} - (3 e^{- 2 x}) - (3 e^{- x}) - 1 \cdot 1) e^{x} d x$

解题步骤 3.14

化简。

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解题步骤 3.14.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 3 x} - 3 e^{- 2 x} - (3 e^{- x}) - 1 \cdot 1) e^{x} d x$

解题步骤 3.14.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 3 x} - 3 e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 1 \cdot 1) e^{x} d x$

解题步骤 3.14.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 3 x} - 3 e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 1) e^{x} d x$

解题步骤 3.15

运用分配律。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 3 x} e^{x} - 3 e^{- 2 x} e^{x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

解题步骤 3.16

化简。

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解题步骤 3.16.1

通过指数相加将 $e^{- 3 x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.16.1.1

移动 $e^{x}$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- (e^{x} e^{- 3 x}) - 3 e^{- 2 x} e^{x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

解题步骤 3.16.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{x - 3 x} - 3 e^{- 2 x} e^{x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

解题步骤 3.16.1.3

从 $x$ 中减去 $3 x$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- 2 x} e^{x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

解题步骤 3.16.2

通过指数相加将 $e^{- 2 x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.16.2.1

移动 $e^{x}$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 (e^{x} e^{- 2 x}) - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

解题步骤 3.16.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{x - 2 x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

解题步骤 3.16.2.3

从 $x$ 中减去 $2 x$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 e^{- x} e^{x} - 1 e^{x}) d x$

解题步骤 3.16.3

通过指数相加将 $e^{- x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.16.3.1

移动 $e^{x}$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 (e^{x} e^{- x}) - 1 e^{x}) d x$

解题步骤 3.16.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 e^{x - x} - 1 e^{x}) d x$

解题步骤 3.16.3.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 e^{0} - 1 e^{x}) d x$

解题步骤 3.16.4

化简 $- 3 e^{0}$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - 1 e^{x}) d x$

解题步骤 3.16.5

将 $- 1 e^{x}$ 重写为 $- e^{x}$ 。

$(e^{- y} + 2 + e^{y}) d y = (- e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x}) d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int e^{- y} + 2 + e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int e^{- y} d y + \int 2 d y + \int e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

解题步骤 4.2.2

使 $u_{1} = - y$ 。然后使 $d u_{1} = - d y$ ，以便 $- d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.2.2.1

设 $u_{1} = - y$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $- y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 4.2.2.1.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 4.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.2.2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int 2 d y + \int e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

解题步骤 4.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 2 d y + \int e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

解题步骤 4.2.4

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$- (e^{u_{1}} + C_{1}) + \int 2 d y + \int e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

解题步骤 4.2.5

应用常数不变法则。

$- (e^{u_{1}} + C_{1}) + 2 y + C_{2} + \int e^{y} d y = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

解题步骤 4.2.6

$e^{y}$ 对 $y$ 的积分为 $e^{y}$ 。

$- (e^{u_{1}} + C_{1}) + 2 y + C_{2} + e^{y} + C_{3} = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

解题步骤 4.2.7

化简。

$- e^{u_{1}} + 2 y + e^{y} + C_{4} = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

解题步骤 4.2.8

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- e^{- y} + 2 y + e^{y} + C_{4} = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

解题步骤 4.2.9

重新排序项。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \int - e^{- 2 x} - 3 e^{- x} - 3 - e^{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \int - e^{- 2 x} d x + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = - \int e^{- 2 x} d x + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.3

使 $u_{2} = - 2 x$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.3.1

设 $u_{2} = - 2 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.3.3.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3.3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 4.3.3.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 4.3.3.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = - \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.4

化简。

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解题步骤 4.3.4.1

将负号移到分数的前面。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = - \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.4.2

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = - \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.5

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = - - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.6

化简。

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解题步骤 4.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = 1 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.6.2

将 $\int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.8

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + \int - 3 e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.9

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) - 3 \int e^{- x} d x + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.10

使 $u_{3} = - x$ 。然后使 $d u_{3} = - d x$ ，以便 $- d u_{3} = d x$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.10.1

设 $u_{3} = - x$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.10.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.3.10.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3.10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 4.3.10.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.3.10.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) - 3 \int - e^{u_{3}} d u_{3} + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.11

由于 $- 1$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) - 3 (- \int e^{u_{3}} d u_{3}) + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.12

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + 3 \int e^{u_{3}} d u_{3} + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.13

$e^{u_{3}}$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $e^{u_{3}}$ 。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + 3 (e^{u_{3}} + C_{6}) + \int - 3 d x + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.14

应用常数不变法则。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + 3 (e^{u_{3}} + C_{6}) - 3 x + C_{7} + \int - e^{x} d x$

解题步骤 4.3.15

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + 3 (e^{u_{3}} + C_{6}) - 3 x + C_{7} - \int e^{x} d x$

解题步骤 4.3.16

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{5}) + 3 (e^{u_{3}} + C_{6}) - 3 x + C_{7} - (e^{x} + C_{8})$

解题步骤 4.3.17

化简。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} e^{u_{2}} + 3 e^{u_{3}} - 3 x - e^{x} + C_{9}$

解题步骤 4.3.18

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 4.3.18.1

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} e^{- 2 x} + 3 e^{u_{3}} - 3 x - e^{x} + C_{9}$

解题步骤 4.3.18.2

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} e^{- 2 x} + 3 e^{- x} - 3 x - e^{x} + C_{9}$

解题步骤 4.3.19

重新排序项。

$2 y + e^{y} - e^{- y} + C_{4} = \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 3 x + 3 e^{- x} - e^{x} + C_{9}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$2 y + e^{y} - e^{- y} = \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 3 x + 3 e^{- x} - e^{x} + K$

微积分学 示例

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