微积分学示例

$x \cdot y + x + \frac{d y}{d x} \cdot y + \frac{d y}{d x} \cdot y \cdot x = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{d y}{d x} y$ 乘以 $x$ 。

$x y + x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = 0$

解题步骤 1.1.2

将所有不包含 $\frac{d y}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.2.1

从等式两边同时减去 $x y$ 。

$x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y$

解题步骤 1.1.2.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

解题步骤 1.1.3

从 $\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x} y$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

从 $\frac{d y}{d x} y$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x} y$ 。

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

解题步骤 1.1.3.2

从 $\frac{d y}{d x} y x$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x} y$ 。

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

解题步骤 1.1.3.3

从 $\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x} y$ 。

$\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ 中的每一项除以 $y (1 + x)$ 并化简。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ 中的每一项都除以 $y (1 + x)$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.4.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.2.2

约去 $1 + x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.3.1.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3.1.1.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} - \frac{x}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3.2

要将 $- \frac{x}{1 + x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + x) y$ 的形式。

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解题步骤 1.1.4.3.3.1

将 $\frac{x}{1 + x}$ 乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(1 + x) y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3.3.2

重新排序 $(1 + x) y$ 的因式。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{y (1 + x)} - \frac{x}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y - x}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3.5

从 $- x y - x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.3.5.1

从 $- x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) - x}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3.5.2

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) + x \cdot - 1}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3.5.3

从 $x (- y) + x \cdot - 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y - 1)}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3.6

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1)}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3.7

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1 (1))}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3.8

从 $- (y) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y + 1))}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3.9

化简表达式。

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解题步骤 1.1.4.3.9.1

将 $- (y + 1)$ 重写为 $- 1 (y + 1)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 (y + 1))}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.1.4.3.9.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{y}{y + 1}$ 。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} (- \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} (\frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

解题步骤 1.4.2

将 $\frac{x}{1 + x}$ 乘以 $\frac{y + 1}{y}$ 。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

解题步骤 1.4.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $- \frac{y}{y + 1}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

解题步骤 1.4.3.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

解题步骤 1.4.3.3

从 $(1 + x) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.4.3.4

约去公因数。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

解题步骤 1.4.3.5

重写表达式。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{1 + x}$

解题步骤 1.4.4

约去 $y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.4.1

从 $x (y + 1)$ 中分解出因数 $y + 1$ 。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

解题步骤 1.4.4.2

约去公因数。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

解题步骤 1.4.4.3

重写表达式。

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{y}{y + 1} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

用 $y$ 除以 $y + 1$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$1$

$y$

$0$

解题步骤 2.2.1.2

将被除数中的最高阶项 $y$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

解题步骤 2.2.1.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

解题步骤 2.2.1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y + 1$ 中的所有符号

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

解题步骤 2.2.1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

解题步骤 2.2.1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2.3

应用常数不变法则。

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2.5

使 $u_{1} = y + 1$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.5.1

设 $u_{1} = y + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.5.1.1

对 $y + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.2.5.1.2

根据加法法则， $y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.5.1.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.5.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2.6

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2.7

化简。

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2.8

使用 $y + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

解题步骤 2.3.2

将 $1$ 和 $x$ 重新排序。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 2.3.3

用 $x$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x$

$0$

解题步骤 2.3.3.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

解题步骤 2.3.3.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

解题步骤 2.3.3.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x + 1$ 中的所有符号

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

解题步骤 2.3.3.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

解题步骤 2.3.3.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 2.3.4

将单个积分拆分为多个积分。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

解题步骤 2.3.5

应用常数不变法则。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

解题步骤 2.3.6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

解题步骤 2.3.7

使 $u_{2} = x + 1$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.7.1

设 $u_{2} = x + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.7.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2.3.7.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.7.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.7.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.7.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 2.3.8

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u_{2} |) + C_{5}))$

解题步骤 2.3.9

化简。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

解题步骤 2.3.10

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

解题步骤 2.3.11

化简。

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解题步骤 2.3.11.1

运用分配律。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

解题步骤 2.3.11.2

乘以 $- - \ln (| x + 1 |)$ 。

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解题步骤 2.3.11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

解题步骤 2.3.11.2.2

将 $\ln (| x + 1 |)$ 乘以 $1$ 。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y - \ln (| y + 1 |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$

微积分学 示例

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