微积分学示例

$x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ 中的每一项除以 $x y$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

将 $x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ 中的每一项都除以 $x y$ 。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.2

约去 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1.1.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1.1.2.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x (y)}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x}{y}$

解题步骤 1.1.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y}$

解题步骤 1.2

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

要将 $- \frac{x}{y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 1.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x y$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

将 $\frac{x}{y}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{y x}$

解题步骤 1.2.2.2

重新排序 $y x$ 的因式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{x y}$

解题步骤 1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x \cdot x}{x y}$

解题步骤 1.2.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x \cdot x}{x y}$

解题步骤 1.2.4.2

将 $x \cdot x$ 重写为 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x^{2}}{x y}$

解题步骤 1.2.4.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

解题步骤 1.3

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

解题步骤 1.4

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

将 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

解题步骤 1.5.2

约去 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

解题步骤 1.5.2.3

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$

解题步骤 1.6

重写该方程。

$y d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x} d x$

解题步骤 2.3.3

运用分配律。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x} d x$

解题步骤 2.3.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.4.1

将 $x$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}{x} d x$

解题步骤 2.3.4.2

将 $x$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}{x} d x$

解题步骤 2.3.4.3

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

解题步骤 2.3.4.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

解题步骤 2.3.4.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x} d x$

解题步骤 2.3.5

提取负因数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x} d x$

解题步骤 2.3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x)}{x} d x$

解题步骤 2.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x^{1})}{x} d x$

解题步骤 2.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x} d x$

解题步骤 2.3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{2}}{x} d x$

解题步骤 2.3.10

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 0 - x^{2}}{x} d x$

解题步骤 2.3.11

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.11.1

从 $0$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

解题步骤 2.3.11.2

将 $1$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{- x^{2} + 1}{x} d x$

解题步骤 2.3.12

用 $- x^{2} + 1$ 除以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.12.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 2.3.12.2

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

解题步骤 2.3.12.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

解题步骤 2.3.12.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} + 0$ 中的所有符号

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

解题步骤 2.3.12.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

解题步骤 2.3.12.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

解题步骤 2.3.12.7

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.13

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.14

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.15

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.16

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

解题步骤 2.3.17

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.17.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

解题步骤 2.3.17.2

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

解题步骤 3.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.3.1

将 $- \frac{x^{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

解题步骤 3.2.2.1.3.3

重写表达式。

$y^{2} = - x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

解题步骤 3.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| x |)$ 。

$y^{2} = - x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.5

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

微积分学 示例

微积分学示例